Абстрактен Факториал

Факториелът на числотоn(обозначен сn!, произнася сеen factorial) е произведението на всички естествени числа до и включителноn:

По дефиниция 0! = 1. Факториелът е дефиниран само за неотрицателни цели числа.

Последователността от факториели на неотрицателни цели числа започва така:

1, 1, 2, 6, 24, 120, 720, 5040, 40320, 362880, 3628800, 39916800, 479001600, 6227020800, … (OEIS последователност A000142)

Факториалите често се използват в комбинаториката, теорията на числата и функционалния анализ.

1. Свойства

1.1. Повтаряща се формула

1.2. Комбинаторна интерпретация

В комбинаториката факториелът на естествено числоnсе интерпретира като броя на пермутациите на набор отnелементи. Например, за набор A,B,C,D> от 4 елемента има 4!=24 пермутации:

1.3. Връзка с гама функцията

Факториелът е свързан с гама функцията на целочислен аргумент чрез връзката:

По този начин гама функцията се разглежда като обобщение на факториела за положителни реални числа.

Чрез аналитично продължение, той също се разширява до цялата комплексна равнина, с изключение на особени точки при .

1.4. Формула на Стърлинг

Формулата на Стърлинге асимптотична формула за факторно изчисление:

виж О-голям. Коефициентите на това разширение дават OEIS последователността A001163 (числители) и OEIS последователността A001164 (знаменатели).

В много случаи за приблизителна стойност на факториела е достатъчно да се вземе предвид само основният член на формулата на Стърлинг:

В същото време може да се твърди, че

1.5. Разлагане на прости числа

Всяко просто числоpе включено в разлаганетоn! към прости числа към степени

където произведението се взема върху всички прости числа.

1.6. Други имоти

• За естествено числоn

2. Обобщения

2.1. двоен факториел

Двоен факториелнаnсе означава сn!! и се определя като произведението на всички естествени числа в сегмента [1,n], които имат същата четност катоn. По този начин,

По дефиниция 0!! = 1.

Последователността от стойностиn!! започва така:

1, 1, 2, 3, 8, 15, 48, 105, 384, 945, … (OEIS последователност A006882)

2.2. Намаляващ факториел

Намаляващ факториел(илинепълен факториел) е израз

Намаляващият факториел дава броя на разположенията отnдоk.

2.3. Увеличаващ факториел

Увеличаването на факториелае израз

2.4. Първичен или първичен

Primorialилиprimorial(англ.primorial) на числотоnсе означава сn# и се определя като произведение на прости числа, непревишаващиn. Например,

Последователността от първични (включително ) започва така:

1, 2, 6, 30, 210, 2310, 30030, 510510, 9699690, … (OEIS последователност A002110)

2.5. Суперфакториали

Нийл Слоун и Саймън Плоу (англ.) през 1995 г. дефиниратсуперфакториалакато продукт на първитеnфакториели. Според тази дефиниция, суперфакториалът на четири е (тъй като няма установена нотация, използва се функционалната)

Последователността от суперфакториали на числаn⩾0 започва така:

1, 1, 2, 12, 288, 34560, 24883200, … (OEIS последователност A000178)

Идеята е обобщена през 2000 г. от Хенри Ботомли(eng.), което доведе дохиперфакториали(eng.Super-duper-factorial), които са продукт на първитеnсуперфакториали. Последователността от хиперфакториали на числаn⩾0 започва така:

1, 1, 2, 24, 6912, 238878720, 5944066965504000, … (OEIS последователност A055462)

Продължавайки периодично, можем да дефинирамефакториела на множество нива, където факториелът наmниво на числотоnе произведението на първитеn(m-1) факториели на ниво, т.е.

2.6. Подфакториал

Субфакториалсе дефинира като броят на разстройствата на реда, т.е. пермутациите на набор от -елементи без фиксирани точки.

---