Абстрактна размита логика
Предмет на размитата логика е изграждането на модели на приблизителни човешки разсъждения и използването им в компютърни системи [1] .
1. Насоки на изследване на размитата логика
Понастоящем има поне две основни области на изследване в областта на размитата логика:
- размитата логика в широк смисъл (теорията на приблизителните изчисления);
- размита логика в тесен смисъл (символна размита логика).
2. Математически основи
2.1. Символна размита логика
Символната размита логика се основава на концепцията за t-норма. След избора на определена t-норма (и тя може да бъде въведена по няколко различни начина), става възможно да се дефинират основните операции върху пропозиционалните променливи: конюнкция, дизюнкция, импликация, отрицание и други.
Лесно е да се докаже теоремата, че дистрибутивността, присъстваща в класическата логика, е изпълнена само в случай, когато t-нормата на Гьодел е избрана като t-норма.
Освен това по определени причини най-често като импликация се избира операцията, наречена резидиум (най-общо казано, зависи и от избора на t-норма).
Дефиницията на основните операции, изброени по-горе, води до формална дефиниция на основната размита логика, която има много общо с класическата булева стойностна логика (по-точно с пропозиционалното смятане).
Има три основни основни размити логики: логиката на Лукасевич, логиката на Гьодел и вероятностната логика (на английскиproduct logic). Интересното е, че обединението на кои да е две от трите изброени по-горе логики води до класическата логика с булеви стойности.
2.2. Приблизителна теория
Основна концепцияразмита логика в широк смисъл - размито множество, дефинирано с помощта на обобщената концепция за характеристична функция. След това се въвеждат понятията обединение, пресичане и допълнение на множества (чрез характеристичната функция; тя може да бъде специфицирана по различни начини), концепцията за размита релация, както и едно от най-важните понятия - концепцията за лингвистична променлива.
Най-общо казано, дори такъв минимален набор от дефиниции прави възможно използването на размита логика в някои приложения, но за повечето е необходимо също така да се посочи правило за извод (и оператор за импликация).
2.3. Размита логика и невронни мрежи
Тъй като размитите множества се описват чрез функции на принадлежност, а t-нормите и k-нормите се описват чрез обикновени математически операции, е възможно да се представят размитите логически разсъждения под формата на невронна мрежа. За да направите това, функциите на принадлежност трябва да се интерпретират като активиращи функции на неврони, предаването на сигнали като връзки, а логическите t-норми и k-норми като специални типове неврони, които извършват съответните математически операции. Има голямо разнообразие от невро-размити мрежи като тази невро-размита мрежа. Например ANFIS (Adaptive Neuro Fuzzy Inference System) е адаптивна невро-размита система за изводи. [2]
може да се опише в универсалната форма на апроксиматорите като
в допълнение, тази формула може също да опише някои видове невронни мрежи, като радиални базисни мрежи (RBF), многослойни персептрони (MLP), както и уейвлети и сплайнове
2.4. Примери
2.4.1. Размит набор, съдържащ числото 5
Размито множество, съдържащо числото 5, може да бъде дефинирано например чрез такава характеристична функция:
2.4.2. Пример за дефиниране на лингвистична променлива
INнотация, приета за лингвистична променлива:
Правило G генерира нови термини, използвайки съюзите "и", "или", "не", "много", "повече или по-малко".