Абстрактна тригонометрия

Тригонометрията(от гръцки τρίγονο (триъгълник) и гръцки μετρειν (мярка), т.е.измерване на триъгълници) е дял от математиката, който изучава тригонометричните функции и техните приложения към геометрията [1] . Този термин се появява за първи път през 1595 г. като заглавие на книга на немския математик Бартоломеус Питискус (Bartholomäus Pitiscus, 1561-1613), а самата наука е била използвана в древността за изчисления в астрономията, геодезията и архитектурата.

Тригонометричните изчисления се използват в почти всички области на геометрията, физиката и инженерството. От голямо значение е техниката на триангулация, която позволява да се измерват разстоянията до близките звезди в астрономията, между ориентирите в географията и да се контролират сателитните навигационни системи. Трябва също да се отбележи използването на тригонометрия в такива области като музикална теория, акустика, оптика, анализ на финансовите пазари, електроника, теория на вероятностите, статистика, биология, медицина (включително ултразвук и компютърна томография), фармацевтика, химия, теория на числата (и в резултат на това криптография), сеизмология, метеорология, океанология, картография, много клонове на физиката, топография и геодезия, архитектура структура, фонетика, икономика, електронно инженерство, машинно инженерство, компютърна графика, кристалография.

В училището на СССР имаше статут на предмет

1. Дефиниция на тригонометрични функции

Първоначално тригонометричните функции бяха свързани със съотношенията на страните в правоъгълен триъгълник. Единственият им аргумент е ъгъл (един от острите ъгли на този триъгълник).

Синус е отношението на противоположния катет към хипотенузата.
Косинусът е отношението на съседния катет към хипотенузата.
Тангенсът е отношението на срещуположния катет към съседния.
Котангенсът е отношението на съседния катет към срещуположния.
Секансът е отношението на хипотенузата към съседния катет.
Косеканс е съотношението на хипотенузата към противоположния катет.

Тези определения позволяват да се изчислят стойностите на функциите за остри ъгли, т.е. от 0 ° до 90 ° (от 0 до радиани). През 18 век Леонхард Ойлер дава съвременни, по-общи дефиниции, разширявайки областта на дефиниране на тези функции до цялата числена ос. Помислете за окръжност с единичен радиус в правоъгълна координатна система (вижте фигурата) и отделете ъгъла θ от хоризонталната ос (ако ъгълът е положителен, тогава го задайте обратно на часовниковата стрелка, в противен случай по посока на часовниковата стрелка). Пресечната точка на построената страна на ъгъла с окръжността ще бъде означена сA. Тогава:

Синусът на ъгъла θ се определя като ордината на точкатаA.
Косинусът е абсцисата на точкатаA.
Тангенсът е отношението на синус към косинус.
Котангенс - отношението на косинус към синус (тоест реципрочната стойност на тангенса).
Секансът е реципрочната на косинуса.
Косекансът е реципрочната на синуса.

За острите ъгли новите определения съвпадат със старите.

Възможна е и чисто аналитична дефиниция на тези функции, която не е свързана с геометрията и представя всяка функция чрез нейното разлагане в безкраен ред.

2.1. Древна Гърция

Древногръцките математици в своите конструкции, свързани с измерването на дъги на окръжност, са използвали техниката на акордите. Перпендикулярът към хордата, пуснат от центъра на окръжността, разполовява дъгата и хордата, лежаща върху нея. Половината разполовена хорда е синус на половин ъгъл и затова функцията синус е известна още като "половин хорда".Поради тази връзка значителен брой тригонометрични идентичности и теореми, известни днес, са били известни и на древногръцките математици, но в еквивалентната акордална форма.

Въпреки че няма тригонометрия в тесния смисъл на думата в трудовете на Евклид и Архимед, техните теореми са представени в геометрична форма, еквивалентна на специфични тригонометрични формули. Теоремата на Архимед за разделянето на хордите е еквивалентна на формулите за синусите на сбора и разликата на ъглите. За да компенсират липсата на таблица с акорди, математиците от времето на Аристарх понякога използват добре позната теорема, в съвременна нотация - sin α / sin β 2.2. Средновековна Индия

Други източници съобщават, че замяната на акордите със синуси е станала основното постижение на средновековна Индия. Тази замяна направи възможно въвеждането на различни функции, свързани със страните и ъглите на правоъгълен триъгълник. Така в Индия се слага началото на тригонометрията като учение за тригонометричните величини.

Индийските учени са използвали различни тригонометрични съотношения, включително тези, които в съвременна форма се изразяват като

sin 2 α + cos 2 α = 1

Индианците също са знаели формулите за множество ъгли sinn, cosn, къдетоn= 2,3,4,5 .

Тригонометрията е необходима за астрономически изчисления, които се изготвят под формата на таблици. Първата таблица със синуси се намира в Surya Siddhanta и Aryabhata. По-късно учените съставиха по-подробни таблици: например Бхаскара дава таблица на синусите през 1 °.

Математиците от Южна Индия през 16-ти век постигнаха голям напредък в областта на сумирането на безкрайни числови серии. Очевидно те са направили това изследване, когато са търсили начини да изчислят по-точни стойности на числото π. Никаланта устно дава правилатаразширяване на аркутангенса в безкраен степенен ред. И в анонимния трактат "Karanapaddhati" ("Изчислителна техника") са дадени правилата за разширяване на синуса и косинуса в безкрайни степенни редове. Трябва да се каже, че в Европа такива резултати са достигнати едва през 17-18 век. И така, серията за синус и косинус е изведена от Исак Нютон около 1666 г., а серията арктангенс е открита от Дж. Грегъри през 1671 г. и Г. В. Лайбниц през 1673 г.

През 8в. Учени от страните от Близкия и Средния изток се запознаха с трудовете на индийските математици и астрономи и ги преведоха на арабски. В средата на 9-ти век средноазиатският учен ал-Хорезми написва есето „За индийската сметка“. След като арабските трактати бяха преведени на латински, много идеи на индийските математици станаха достояние на европейската, а след това и на световната наука.