Аксиоматична теория - Голямата енциклопедия на нефта и газа, статия, страница 1
Аксиоматична теория
Аксиоматичните теории често започват от някои интуитивни теории. Като примери веднага идват на ум такива теории като аритметика, механика, теория на вероятностите и геометрия, обикновено разработени на интуитивна основа. След като една интуитивна теория е развита до такава степен, че нейните основни свойства се считат за известни, тогава вече е възможно да се изчисли (или поне да се опита) да се аксиоматизира. Първата стъпка в тази посока е да се изброят основните обекти, които формират основата на разглежданата теория, и основните свойства, които притежават тези обекти. След това някои символи се въвеждат като имена за тези избрани обекти (по-специално думите могат да бъдат такива символи), след което основните свойства на избраните обекти, които сме избрали, се записват с помощта на избраните символи. Тези символи се наричат първични термини (или символи) на теорията, която се формализира, а оригиналните твърдения, съставени от тях, са аксиомите на тази теория. Сега в рамките на някаква фиксирана логическа система се извеждат теореми. Едно от изискванията за аксиоматична теория, понятието истина да не се използва изрично в нея, е удовлетворено от факта, че първичните термини не са дефинирани и аксиомите се разбират просто като оригинален списък от теореми. Степента на успех в аксиоматизирането на дадена интуитивна теория се определя от броя на теоремите, които (след приписване на интуитивно подразбиращите се значения на тези термини на първичните термини, включени в техните формулировки) се превръщат в верни - от гледна точка на нашите знания-изявления. Изпълнението на такава програма за аксиоматизиране на интуитивната теория позволява доста значителен произвол при избора на основниконцепции, а действително избраните концепции често са много различни една от друга. Хилберт, има шест основни термина: точка, права, равнина, инцидент, между и конгруентни. [1]
Аксиоматична теория, която успешно формализира някаква интуитивна теория, е източник на прозрение за същността на тази теория, тъй като аксиоматичната теория е изградена без позоваване на значението. Аксиоматичната теория, която е формализация на няколко теории, е привлекателна до известна степен със своята простота и ефективност. Под простота тук имаме предвид, че за всяка от конкретните теории, които служат като интерпретации на нашата аксиоматична теория, успяваме да се справим със същия брой първоначални предположения, необходими за получаване на специфични теореми на която и да е от тези теории. Говорейки за ефективност, имаме предвид, че всяка теорема от аксиоматична теория може автоматично да бъде прехвърлена към всяка нейна интерпретация. [2]
Аксиоматичната теория на благосъстоянието представя проблема за вземане на колективно решение въз основа на сравняване на всяка възможна алтернатива (всяко възможно решение) с вектора ( и. Цялата необходима информация се съдържа в набора от тези възможни вектори на полезността. Всякаква информация за спецификата на решенията, които генерират разнообразието от вектори на полезността, систематично се пропуска. [4]
Аксиоматичната теория на вероятностите се занимава с вероятностни пространства. Въпреки това, за да се разгледа безкрайно вероятностно пространство, са необходими по-фини определения. [5]
Аксиоматична теория на множествата, Аритметика на фирмите, Предикатно смятане, Теория на типовете. [6]
Следващата аксиоматична теория А най-пълно отразява принципите на наивната теория на множествата. [7]
Аксиоматична теорияпространства на решения на диференциални уравнения и диференциални включвания / / Докл. [8]
Всяка аксиоматична теория, по дефиниция, се занимава с извличане на следствия от определени аксиоми. [10]
Всяка неофициална аксиоматична теория е дедуктивно затворена. [единадесет]
Формализацията на аксиоматичните теории с помощта на предикатното смятане се извършва по следния начин. [12]
Ps на една аксиоматична теория се дефинират само доколкото се характеризират с аксиоми. Всяка предикатна формула може да се разглежда като система от аксиоми и свободните променливи и предикатните букви, включени в нея, могат да се считат за представляващи неопределени индивиди и предикати. [13]
Описвайки аксиоматичната теория на множествата, Вейл обозначава с буквата Z нейната формулировка в стила на Гьодел-Бернайс с два вида променливи – за класове и за множества. В съвременната литература по теория на множествата буквата Z (също в памет на Zermelo) обозначава друга формализация (по същество еквивалентна система), където не са въведени класове. Това съответства на разбирането на добре дефинирано свойство просто като формула на езика на теорията на множествата. Предполага се обаче, че аксиомата на индукцията и елементарните аритметични аксиоми, като дефиниращите равенства на събиране и умножение, са били постулирани. [14]
Помислете за съставна аксиоматична теория T с набор от положителни аксиоми K и набор от отрицателни аксиоми L. Горният модел A не е модел на теорията T, тъй като дизюнкцията на двете отрицателни аксиоми p и q е вярна в този модел (въпреки че нито една от отрицателните аксиоми, взети отделно, не е вярна в модел A. [15]