Актюерска математика - стр. 5
Да предположим за простота, че n се дели на и , тогава броят на паричните постъпления u n .
Ако лихвата се натрупва m пъти през базовия период,
При изчисляване на непрекъсната лихва
4.4 Решаване на типични задачи
Когато наемате парцел, трябва да изберете една от опциите за плащане на наем: а) 300 хиляди рубли. в края на всяка година; б) 2 милиона 400 хиляди рубли. в края на шестгодишен период. Кой вариант е по-предпочитан, ако банката предлага 10% годишно по депозити, лихвата се изчислява на тримесечие? При какво плащане в края на всяка година и двата варианта са практически еквивалентни?
Първата опция за плащане е postnumerando анюитет. В този случай е възможно да получавате годишни наемни плащания и да инвестирате получените суми при условия на 10% годишно.
Начислената сума на анюитета според първия вариант е 2 милиона 337 хиляди 68 рубли. Според втората опция за плащане можете да получите 2 милиона 400 хиляди рубли наведнъж, което означава, че тази опция е по-изгодна.
За определяне на размера на плащането в края на всяка година, при който и двата варианта са еквивалентни
Служителят сключва договор с компанията, според който в случай на постоянна работа в компанията до пенсиониране (на 65-годишна възраст), компанията се задължава да превежда същите суми по банковата сметка на служителя в края на всеки шест месеца в продължение на 25 години, което ще осигури на служителя допълнителна пенсия в края на всеки месец в размер на 8000 рубли. в продължение на 18 години. Колко трябва да превежда фирмата годишно, ако служителят е на 40 години и се предполага, че банката гарантира годишна лихва от 8%, лихвата се начислява на тримесечие.
Плащанията на служителя след пенсиониране са postnumerando анюитет с A = 8000 рубли, n = 18години, p = 12, m = 4, r = 0,08, следователно намалената сума към момента на пенсиониране на служителя се определя от:
Същата сума трябва да бъде натрупана за 25 години в банкова сметка, т.е. това е натрупана сума за анюитет postnumerando n= 25, p=2, m=4, r=0,08
Ако една компания преведе 5 936 893 рубли по сметка на служител на всеки шест месеца в продължение на 25 години, тогава натрупаните средства
ще бъде достатъчно, за да плаща на служителя всеки месец в продължение на 18 години 8000 рубли.
В рамките на 4 години банковата сметка ще получава същите плащания всеки ден, всяка година в размер на 100 хиляди рубли. Определете сумата, натрупана до края на четвъртата година, като използвате лихвен процент от 15% годишно, ако се начислява сложна лихва а) годишно; б) месечно.
а) n=4, m=1, r=15%. Тъй като плащанията се получават доста често, може да се предположи, че те се получават непрекъснато, след това на A 100 хиляди рубли.
Но можем да приемем, че имаме анюитет postnumerando и p=360, A=100/360
Ако се очаква анюитет
Фирмата ще създаде фонд за годишно (в края на годината) изплащане на обезщетения на своите служители. Определете сумата, която компанията трябва да депозира в банката, което ще гарантира, че получава 800 хиляди рубли за неопределено време в края на всяка година, ако банката начислява: а) сложна лихва в размер на 6% годишно; б) всеки-
тримесечна сложна лихва в размер на 6%; в) непрекъсната лихва с темп на нарастване 6%.
Паричният поток във всички случаи е вечен анюитет postnumerando, с A = 800 хиляди рубли. намерете настоящата стойност на анюитета.
13037,06 хиляди рубли
Служителят сключва договор с фирмата за 14 години, според който освен месечната заплатабанковата сметка на служителя в края на всеки двугодишен период ще получи бонус сума от 80 хиляди рубли. Изисква се определяне на натрупаната сума до края на договора, ако постъпващите суми ще се начисляват: а) годишна сложна лихва при номинален годишен лихвен процент от 12%; б) тримесечна сложна лихва при номинален годишен лихвен процент 12%; в) непрекъсната лихва с ръст от 12% годишно.
Паричните постъпления формират постоянен анюитет postnumerando с A = 80 хиляди рубли, период от n = 14 години и период от u = 2 години.
закупено оборудване на кредит за 900
хиляди рубли. при 25% годишно, начислени съгласно схемата за сложна лихва върху непогасеното салдо. Трябва да изплатите дълга на равни суми в края на всяка втора година и да изплатите целия дълг за 10 години. Необходимо е да се определи размерът на всяко плащане и да се състави план за погасяване на дълга.
Означете с A стойността на всяко желано плащане. Потокът от тези плащания е postnumerando анюитет, за който
PV pst a 900 хиляди рубли, r=25%,
n=10, m=1, u=2. Ето защо
Плащането на 567 147 рубли, извършено в края на втората година, се състои от две части: сложна лихва за две години 900 000 ((1 + 0,25) 2 -
1) = 506 250 rub. и погасителната част на дълга 567147 - 506250 = 60897 рубли.
През следващите две години изчислението ще бъде подобно, но размерът на кредита, използван от предприемача, ще бъде по-малък и ще възлиза на
Планът за погасяване на дълга е представен в таблицата Таблица - План за погасяване на дълга
4.5 Задачи за самостоятелно решаване
1. За да създаде фонд, компанията инвестира годишно 24 хиляди рубли в банката. при годишна номинална лихва от 12%. Определете сумата, която ще бъде натрупана във фонда след 8 години, ако: а)
вноските се правят в края на годината,и сложната лихва се изчислява на всеки шест месеца; б) вноските се правят на равни вноски в края на всеки месец (т.е. 2 хиляди рубли всяка), а сложната лихва се начислява на тримесечие; в) вноските се правят на равни вноски в края на всяко тримесечие (т.е. 6 хиляди рубли всяка) и се начислява непрекъсната лихва.
2. Банката предлага postnumerando анюитет за 10 години с тримесечно плащане от 4 хиляди рубли. Годишният лихвен процент остава постоянен през целия период, а сложната лихва се начислява на тримесечие. На каква цена може да бъде закупен този анюитет, ако плащанията започнат да се извършват: а) веднага; б) след 4 години; в) след 5,5 години, а сложната лихва е 10% годишно?
3. Клиентът иска да натрупа 800 хиляди рубли в сметката си, като прави равни депозити в банката в края на всяко тримесечие при сложна лихва от 9% годишно с начисляване на всеки шест години. Какъв размер трябва да бъде всеки депозит, за да може клиентът да натрупа необходимата сума за: а) 5 години; б) 10 години?
4. За тримесечни вноски в банката в размер на 10 хиляди рубли. по схемата prenumerando банката начислява сложна лихва при номинален лихвен процент от 14% годишно: а) веднъж годишно; б) на всеки шест месеца. Колко ще има в сметката след 3 години?
5. Някаква фирма иска да създаде фонд в размер на 400 хиляди рубли.
За тази цел в края на всяка година компанията възнамерява да внесе 80 хиляди рубли. към банката при 12% годишно. Намерете периода, необходим за създаване на фонд, ако банката начислява сложна лихва: а) годишно; б) тримесечни; в) непрекъснато.
6. Клиентът депозира 20 хиляди рубли в банката, възнамерявайки да тегли 5,5 хиляди рубли от сметката в края на всяка година. Колко дълго клиентът ще може да тегли пари от сметката, ако банката начислява сложна лихва в размер на 14% годишно: а) годишно; б) тримесечни; в) непрекъснато?
7. Праветемлад мъж на 24 години имаше възможност да завърши едногодишен курс на обучение на стойност 200 хиляди рубли. и заемат по-висока позиция. Колко по-висока трябва да бъде заплатата на нова позиция, за да може млад човек да счита обучението за подходящо, ако в момента годишната му заплата е 132 хиляди рубли. И той смята за приемлива за себе си нормата на възвръщаемост на инвестициите от 16% годишно? На нова позиция млад мъж ще работи до пенсиониране, т.е. 40 години. Как ще се промени отговорът, ако 54-годишен мъж обмисли такава възможност за обучение?
8. Преди да се пенсионира, г-н N иска да си осигури допълнителен годишен доход в размер на 160 хиляди рубли. неопределено дълго. Колко пари трябва да депозира в банката?
сложна лихва в размер на 8% годишно с тримесечно начисляване?
9. Компанията гарантира изплащането на дивиденти в размер на 4 хиляди рубли. на акция в края на всяка година за неопределен период от време. Има ли смисъл да купувате акции на тази компания на цена от 18 хиляди рубли, ако можете да поставите пари на депозит при 11% годишно
с изчисляване на сложна лихва: а) годишно; б) тримесечно?
10. Фирмата възнамерява да произвежда някои продукти в продължение на четири години, получавайки годишен приход от 40 милиона рубли. Предполага се, че продуктите ще се продават повече или по-малко равномерно през цялата година. Оценете очакваните парични постъпления, ако е приложимо: а) сложна лихва от 12% годишно; б) непрекъснат процент от 12% годишно.
11. В рамките на 3 години същите плащания ще се извършват ежедневно по банковата сметка, всяка година в размер на 150 хиляди рубли. Определете сумата, натрупана до края на третата година, като използвате лихвен процент от 6% годишно, ако комбиниратеизвършва се: а) на половин година; б) месечно.
12. Застрахователна компания, сключила 8-годишен договор с определена фирма, получава от нея застрахователни премии от 70 хиляди рубли. в края на всеки двугодишен период. Дружеството внася тези вноски в банката при годишен номинален лихвен процент от 10% годишно. Намерете настоящата стойност на сумата, която застрахователната компания ще получи по този договор, ако се начислява сложна лихва: а) годишно; б) тримесечни; в) непрекъснато.
13. Преди да се пенсионира, г-н N иска да си осигури допълнителен доход от 100 000 рубли на всеки две години. неопределено дълго. Колко трябва да депозира в банка, която начислява сложна лихва при лихвен процент от 10% годишно месечно?
14. Взехте назаем $12 000 за пет години при 12% сложна лихва върху неизплатеното салдо. Тя трябва да бъде върната на равни суми в края на всяка година. Определете каква част от главницата на заема ще бъде изплатена през първите две години.
15. Струва ли си да закупите ценна книга на стойност $5500, която генерира $1000 годишен доход за седем години, ако дисконтовият процент е 8%?
16. Предприятие закупи сграда за $20 000 при следните условия: а) 25% от цената се плаща незабавно; б) останалата част се погасява на равни полугодишни вноски за 10 години
с начисляване на 12% годишно върху непогасената част от кредита по схемата
сложната лихва се начислява тримесечно). Определете размера на годишното плащане.
17. Обектът е отдаден под наем за 20 години. Размерът на годишното плащане (схема postnumerando) е $1000, като на всеки пет години плащането се индексира с 10%. Изчислете текущата цена на договора към момента на сключването му, ако има банкова лихваставката е 15% с тримесечно начисляване.
18. Компанията възнамерява да произвежда някои продукти в продължение на три години, получавайки годишен приход от 30 милиона рубли. Предполага се, че продуктите ще се продават равномерно. Оценете очакваните общи парични постъпления, ако а) се прилагат 10% годишно (месечно начисляване); б) 10% се начисляват дневно.
5. ПРАКТИЧЕСКИ УРОК №5 АНАЛИЗ НА ИНВЕСТИЦИОННИ ПРОЕКТИ
5.1 Цел на сесията
Овладейте методологията за оценка на ефективността на инвестиционни проекти, които са определени като обикновени или извънредни финансови потоци.
5.2 Цели на урока
Да овладеят уменията за намиране на критерии за оценка на инвестиционни проекти въз основа на изчисляването на такива показатели като: нетна настояща стойност, нетна терминална стойност, индекс на рентабилност, вътрешна норма на възвръщаемост, период на изплащане.
5.3 Кратка теоретична информация
и формули за изчисление
Процесът на вземане на инвестиционно решение се основава на оценката и сравнението на обема на предложените инвестиции и бъдещите парични потоци. Тъй като сравняваните показатели се отнасят за различни моменти от време, основният проблем е проблемът за тяхната съпоставимост.
Най-общо казано, инвестиционният проект P е модел P < IC i , C k , n , r >, където IC i - инвестиция през i-та година, i=1,…,m по-често
m=1; С l - входящи (изходящи) парични средства през годината k=1,…,n; н-
продължителност на проекта; r е сконтовият процент.
Ако финансовият поток в своя състав съдържа само една инвестиция и всички останали елементи на този поток са положителни,
тогава се нарича обикновен финансов поток. В противен случай потокът се нарича необикновен.
инвестиционни проекти,анализирани в процеса на капиталово бюджетиране, имат определена логика:
- обичайно е да се свързва паричен поток с всеки инвестиционен проект, елементите на който са или нетни входящи потоци, или нетни изходящи парични потоци. Нетният изходящ поток се разбира като превишението на текущите парични разходи по проекта над текущите парични постъпления (с обратното съотношение - нетен приток).
- предполага се, че целият обем на инвестициите е направен в края на годината, предхождаща първата година от паричния поток, генериран от проекта.
- входящият (изходящият) поток се извършва в края на следващата година (защото например печалбата се счита за кумулативна сума в края на отчетната година).
- Дисконтовият процент, използван за оценка на проекти, използвайки методи, базирани на дисконтирани оценки, трябва да съответства на продължителността на периода, залегнал в основата на инвестиционния проект.
Критериите, използвани при анализа на инвестиционната активност, могат да се разделят на две групи в зависимост от това дали се отчита или не времевият параметър: а) базирани на дисконтирани оценки; б) въз основа на счетоводни оценки.
Методът на нетната настояща стойност (NPV) се основава на сравняване на стойността на първоначалната инвестиция (IC) с общия дисконтиран нетен паричен поток, генериран от нея през прогнозния период. Тъй като входящият паричен поток се разпределя във времето, той се дисконтира с помощта на лихва r, зададена от анализатора (инвеститора) независимо въз основа на годишната процентна възвръщаемост, която той иска или може да има върху капитала, който инвестира. Например, когато се анализират инвестициите в производствени предприятия, се използват дисконтови процентисредна за индустрията рентабилност на предприятия от подобен клас.
Нека бъде направена прогноза, която инвестицията (IC) ще генерира
в рамките на n години годишни доходи в размер на C 1, C 2. С n. Общата натрупана стойност на дисконтирания доход (Настояща стойност, PV) и съответно нетната настояща стойност се изчисляват с помощта на формулите