Декартово произведение на множества - Информационен образователен портал
В началните класове учениците решават задачата: с помощта на числата1, 2, 3образуват всички видове двуцифрени числа.
Чрез изброяване децата получават:
Записът на всяко число се състои от две цифри, като редът им е значим. Например числата12и21се образуват от числата1, 2.
В случаите, когато редът на елементите на едно множество е важен, в математиката се говори за подредени набори от елементи. В тази задача подредени двойки(a;b),образувани от елементиaиb. Това са(1; 2), (1; 3), (1; 4)и т.н. Първият елементaсе наричапърва координатана двойката, елементътbсе наричавтора.
И така, в нашата задача оперирахме с множествотоA=> и формира всякакви двойки.
Нека разгледаме друг пример. НекаА=,B=.Нека образуваме всички възможни двойки(а;b)така, чеаА, bВ. Нека получим някакъв нов набор,, чиито елементи са подредени двойки числа. Това ново множество се нарича декартово произведение на множестватаAиB.
Декартовото произведение на множестваAиBе множество от двойки, чийто първи компонент принадлежи на множествотоA, а вторият на множествотоB.ОзначетеAB.Така,AB =xA, yB>.
Операцията за намиране на декартово произведение на множестваAиBсе наричаДекартово умножениена тези множества.
Помислете за следния пример. Известно е, чеAB= . Нека установим от какви елементи се състоят множестватаAиB.Тъй като първият компонент на двойката на декартовото произведение принадлежи на множествотоA,, а вторият компонент на множествотоB, то тези множества имат следния вид:A=,B=.
Нека изброим елементите, принадлежащи на множествотоAB,акоА=d>, B=A.AB=(a, d), (b, a), (b, b), (b, c), (b, d), (c, a), (c, b), (c, c), (c, d), (d, a), (d, b) , (d, c), (d, d)>.
Броят на двойките в декартовия продуктABще бъде равен на произведението на броя на елементите на множествотоAи броя на елементите на множествотоB:n(AB)=n(A)n(B).
В математиката се разглеждат не само подредени двойки, но и набори от три, четири и т.н. елементи. Такива подредени набори се наричат кортежи. По този начин множеството(1, 5, 6)е кортеж с дължина3, тъй като има три елемента.
Използвайки понятието кортеж, може да се дефинира понятието декартово произведение на n множества.
Декартовото произведение на множестваА, А,…,Aе множество от кортежи с дължина n, образувани по такъв начин, че първият компонент принадлежи на множествотоА, вторият компонент принадлежи наА, …,n-то на множествотоА: АА…A.
Нека множестватаA=; A=; A=.Декартово произведениеAAA=< (2, 3, 7)