Diff_Uravnenia_leksii - Страница 9
матрица C, за която
Φ( t + T ) = Φ( t ) C.
Смисълът на матрицата C става особено ясен, ако Φ( t ) е нормализирана фундаментална матрица, т.е. Φ(0) = E. Тогава, замествайки t = 0, получаваме
Определение 9.1 Матрицата Φ( T ) се нарича матрица на монодромията на системата (9.1), а собствените стойности на матрицата на монодромията се наричат системни множители.
На геометричен език значението на матрицата на монодромията е особено ясно. Ако x 0
е даден вектор и Φ( t ) е фундаментална матрица, нормализирана при t = 0, тогава решението на системата с начално условие x 0 при t = 0 е дадено като x ( t ) = Φ( t ) x 0 . Задаваме t = T и променяме началните условия. След това получаваме преобразуване от пространството на началните вектори R n 0 в пространството R n T в момент t = T. Поради периодичността на системата пространствата R n 0 и R n T могат да бъдат идентифицирани, тъй като продължение на решението x ( t ) = Φ ( t ) x 0 от време t = T може да се получи, като се вземе решението с начално условие x 1 = x ( T ) при t = 0 . Наистина, x ( t + T ) = Φ ( t + T ) x 0 = Φ ( t ) Φ ( T ) x 0 = Φ ( t ) x ( T ) = Φ ( t ) x 1 . Следователно матрицата на монодромията може да се интерпретира като дефинираща преобразуването R n 0 → R n T за периода на системата. Ако знаем това преобразуване и знаем решенията на системата за 0 ≤ t ≤ T , тогава по силата на казаното знаем решението с всяко начално условие по всяко време.
Ролята на множителите е, че те определят асимптотичното поведение на решенията. Те в известен смисъл са пълен аналог на собствените стойности за случая на система с постоянни коефициенти.
Лема 9.1 Числото µ е множител на система (9.1) тогава и само тогава, когато съществува решение x ( t ) на системата, за което x ( t + T ) ≡ µx ( t ) .
Доказателство. Нека µ е множителят на системата, т.е. има собствен вектор x 0 на матрицата Φ( T ) : Φ( T ) x 0 = µx 0 . Разгледайте решението на системата с начален вектор x 0 : x ( t ) = Φ( t ) x 0 . Тогава това решение удовлетворява: x ( t + T ) = Φ( t + T ) x 0 = Φ( t )Φ( T ) x 0 = µ Φ( t ) x 0 = µx ( t ) . Обратно, ако има решение x ( t ), тогава x ( t ) = Φ( t ) x 0 за някакъв начален вектор x 0 . Следователно, ако условията на лемата са изпълнени за x ( t ), тогава имаме: x ( t + T ) = Φ( t + T ) x 0 = Φ( t )Φ( T ) x 0 = µ Φ( t ) x 0 . Умножавайки двете части в последното равенство по обратната матрица Φ − 1 ( t ), получаваме, че x 0 е собствен вектор на матрицата на монодромията със собствена стойност µ , т.е. µ е множител.
При дефинирането на матрицата на монодромията използвахме нормализираната фундаментална матрица Φ( t ) и от нея получихме матрицата на монодромията Φ( T ) = M, Φ( t + T ) = Φ( t ) M. Естествено възниква въпросът какво ще се промени, ако изберем друга фундаментална матрица Ψ( t ) (ненормализирана) като първоначална и построим матрицата C : Ψ( t + T ) = Ψ( t ) C , как са свързани матриците M и C?
По силата на горното две фундаментални матрици са свързани по равенство:
Ψ( t ) ≡ Φ( t ) D, det D = ̸ 0 , така че
Ψ(t + T) = Ψ(t) C = Φ(t) DC = Φ(t + T) D = Φ(t) MD,
откъдето получаваме C = D − 1 MD , т.е. матрицата C, получена от фундаменталната матрица Ψ( t ), е подобна на матрицата на монодромията. Следователно множителите и другите алгебрични инварианти (например елементарни делители) на матрицата на монодромията могат да бъдат изчислени като собствени стойности и други инварианти на матрицата
Задача 9.1 1. За система с периодични коефициенти
x ˙ = a ( t ) x − b ( t ) y, y ˙ = b ( t ) x + a ( t ) y, a ( t + T )≡ a ( t ), b ( t + T ) ≡ b ( t )
намерете матрицата на монодромията, запишете представянето на Floquet, посочете T-периодичната матрица S ( t ) и матрицата Λ (Съвет: използвайте комплексната променлива z =
2. Намерете матрицата на монодромията за системата, дефинирана от скаларното 2 π-периодично линейно диференциално уравнение x ¨ + p ( t ) x = 0 с функцията
1 , за 0 ≤ t ≤ c, − 1 , за c 2 π
Намерете неговите множители и тяхната зависимост от параметъра c. Решенията на системата при преминаване през равнината на прекъсване t = c продължават в непрекъснатост.
9.1 Теорема на Флоке и теорема на сводимост на Ляпунов
Сега можем да намерим формата на основната матрица на периодичната система.
Теорема 9.1 ( Floquet ) Всяка фундаментална матрица Ψ( t ) на линейна диференциална система с T коефициенти има формата
Ψ(t) = S(t) exp[tB],
където матрицата S ( t ) е T неизродена и диференцируема по отношение на t, а матрицата B е постоянна и подобна на матрицата T − 1 Ln Φ( T ) , където Φ( t ) е нормализираната фундаментална матрица на системата.
Доказателство. Нека първо намерим представяне на фундаменталната матрица Φ( t ), нормализирана при t = 0. Нека въведем матрицата Λ = T − 1 LnΦ(T), т.е. exp[Λ T ] = Φ( T ). Теоремата ще бъде доказана, ако покажем, че матрицата P ( t ) = Φ( t ) exp[ −t Λ] е периодична, гладка и неизродена. Последните 2 условия за P са очевидни. Нека докажем
нейната периодичност, използвайки горните свойства на матричния показател и дефиницията на матрицата Λ:
P ( t + T ) = Φ( t + T ) exp[ − ( t + T )Λ] = Φ( t )Φ( T ) exp[ −T Λ] exp[ −t Λ] = Φ( t ) exp[ −t Λ] = P ( t ) .
Нека сега Ψ( t ) е произволна фундаментална матрица. Тогава, както знаем, съществува неизродена постоянна матрица C, за която Ψ( t ) = Φ( t ) C. Следователно,използвайки формула (8.8), получаваме следното представяне за Ψ( t ):
Ψ( t ) = Φ( t ) C = P ( t ) exp[ t Λ] C = P ( t ) C C − 1 exp[ t Λ] C = P ( t ) C exp[ tC − 1 Λ C ] .
Избирайки S ( t ) = P ( t ) C, B = C − 1 Λ C, получаваме твърдението на теоремата.
Обърнете внимание на следното свойство на матриците P ( t ) , Λ: дори ако първоначалната система е била реална, т.е. матрицата A , векторите x и следователно фундаменталната матрица Φ( t ) са били реални, матриците P ( t ) , Λ могат да бъдат комплексни, точно както реалната матрица може да има комплексни собствени стойности и съответните им комплексни собствени вектори. Въпреки това, когато работите с реални системи, е важно да имате реално представяне на основната му матрица. Както следва от доказателството на теоремата, това се дължи на възможността за избор на реален логаритъм. По-долу ще покажем как това може да стане, ако разглеждаме реална система с период T като система с период 2 T.
Имайки представянето на Floquet за основната матрица, е лесно да се докаже теоремата на Ляпунов за сводимостта на периодична диференциална система до система с постоянни коефициенти.
Теорема 9.2 ( Ляпунов за сводимостта ) . За диференциална система (9.1) с T непрекъснати коефициенти съществува, най-общо казано, сложна промяна на променливи от вида x = S ( t ) y с непрекъснато диференцируема неизродена обратима T матрица S ( t ), която редуцира системата до система с постоянни коефициенти y ˙ = By.
Доказателство. Използваме представянето на теоремата на Флоке за фундаменталната матрица Ψ( t ). Като периодична заместваща матрица, ние приемаме матрицата S ( t ) = Ψ( t ) exp[ −tB ]: x = S ( t ) y. Разграничавайки формулата за заместване, получаваме
x ˙ = S ′ ( t ) y + S ( t ) y, ˙
илив y променливи:
[ −S − 1 ( t ) S ′ + S − 1 A ( t ) S ( t )) ] y.
Нека диференцираме израза за S ( t ):
S ′ ( t ) = Ψ ′ ( t ) exp[ −tB ] − Ψ( t ) exp[ −tB ] B = A ( t )Ψ( t ) exp[ −tB ] − Ψ( t ) exp[ −tB ] B = A ( t ) S ( t ) − S ( t ) B.
Заместете този израз в дясната страна на израза за y ˙, тогава получаваме
y ˙ = [ −S − 1 ( t ) S ′− 1 ( t ) A ( t ) S ( t )] y
= [ −S − 1 ( t ) A ( t ) S ( t ) + B + S − 1 ( t ) A ( t ) S ( t )] y = By.
Пример 9.1 Разгледайте скаларното линейно уравнение
с T непрекъсната функция a ( t ) = λ + a ˜( t ) , където числото λ е средната стойност на периодичната функция a ( t ) за периода:
Фундаменталното (нормализирано) решение на това уравнение има формата
exp [ a ( s ) ds ] = exp [ a ˜ ( s ) ds ] exp [ λ t ]
и дава идея на Floquet, тъй като определеният интеграл на периодична функция a ˜( t ) с нулева средна стойност е T функция.
В векторния случай обикновено е невъзможно да се намери представянето на Floquet в ясна форма, но матрицата на монодромията може да бъде получена числено с всякаква степен на точност чрез интегриране на системата за периода. Теоретично, представянето на Floquet дава възможност да се изучат напълно всички възможни видове асимптотично поведение на решенията, което основно се свежда до изучаване на спектралните и алгебрични свойства на матрицата на монодромията.
9.1.1 Теорема на Ляпунов в реалния случай
За дадена неизродена матрица има много матрици, които са нейни логаритми, което е подобно на скаларния случай. Припомнете си, че Ln λ = ln λ + i argλ + 2 πi k . Оттук е ясно, че дори за реална матрица A, нейният логаритъм може да бъде сложна матрица. Възниква естествен въпрос, който е важен за различни приложения: нека матрицата A е реална ие неизродена, при какви условия има реален матричен логаритъм върху A? Очевидно достатъчно условие е A да няма отрицателни собствени стойности (докажете го!). Това обаче е твърде силно ограничение.
Пример 9.2 Изчислете Ln (
За да намерите необходимото условие, разгледайте случая, когато матрицата B = Ln A е реална и приемете, че тя има комплексна собствена стойност ρ + iπ, която съответства на няколко елементарни делителя: ( λ − ρ − iπ ) p 1 ,
. . . , ( λ−ρ−iπ ) p m (припомнете си, че всеки елементарен делител на характеристичния полином съответства на жорданова клетка със съответната размерност p i ). Тъй като матрицата B е реална, тя също има спрегнати елементарни делители ( λ − ρ + iπ ) p 1 , . . . , ( λ − ρ + iπ ) p m . Тогава съответните елементарни делители на матрицата A = exp[ B ] имат една и съща структура (те не се разделят), но реалните числа e ±i = − e стават съответните собствени стойности и поради спрегнатостта на числата ρ + iπ, ρ − iπ броят им се удвоява. Така матрицата A е реална, има отрицателни собствени стойности и въпреки това има реален логаритъм B . Оказва се, че и това необходимо условие е достатъчно, а именно
Теорема 9.3 Реална неособена матрица A има реален логаритъм B тогава и само ако матрицата A или няма елементарни делители, съответстващи на отрицателни собствени стойности, или всеки такъв елементарен делител се повтаря четен брой пъти.
Сега нека се върнем към проблема за редуциране на линейна периодична диференциална система до система с постоянни коефициенти. Както разбрахме по-горе, такава система, най-общо казано, не може да бъде сведена до система спостоянни коефициенти чрез реална периодична трансформация, т.к получената матрица може да бъде сложна. Причината е възможната сложност на логаритъма на реалната матрица. Твърдението обаче е вярно
Твърдение 9.1 Реална линейна система с T коефициенти винаги може да бъде редуцирана чрез реална 2 T трансформация до система с постоянни коефициенти.
Доказателство. Ще разглеждаме системата (9.1) като 2 T система. Нека Ψ( t ) е реалната фундаментална матрица на системата. Тогава за него можем да напишем представянето
Ψ( t + 2 T ) = Ψ( t + T + T ) = Ψ( t + T ) C = Ψ( t ) C 2 .
Обърнете внимание на важно свойство: квадратът на реалната матрица C 2 има реален логаритъм. Наистина, матрицата C 2 удовлетворява условията на теоремата. тъй като ако матрицата C 2 има отрицателна реална собствена стойност, тогава, тъй като е квадрат на реалната матрица C , тя има собствени стойности на квадратите на собствените стойности на матрицата C . Нека матрицата C 2 има отрицателна собствена стойност λ 2 0, тогава λ = ρ exp[ ±iπ/ 2], а реалната матрица C има и двете комплексно спрегнати собствени стойности и следователно елементарните делители, съответстващи на тези собствени стойности, също са комплексно спрегнати. Но тогава матрицата C 2 има елементарни делители, съответстващи на отрицателната собствена стойност λ 2 по двойки.
Сега можем да приложим теоремата за сводимост на Ляпунов към 2 T система и да я доведем до система с постоянни коефициенти 2 T
промяна на координатите, тъй като матрицата Ψ( t ) exp[ −tB ] , за която B = (2 T ) − 1 Ln( C 2 ) , е реално 2 T
Когато анализираме доказателството за сводимост, може да изглежда, че възможната несводимост към система с постоянни коефициентиреалната Т трансформация е свързана с метода на доказателство. В действителност причината за несводимостта на реална T система чрез линейна реална T трансформация до система с постоянни коефициенти е чисто топологична. За да обясните истинското T, разгледайте най-простия пример, когато това се случва. Нека в R 2 е дадена система (9.1) с периодични коефициенти, чиято монодромна матрица Φ( T ) има отрицателен множител µ 1 1 и приемем за определеност, че вторият множител също е отрицателен: 0 2 1. Да предположим, че съществува гладка T неособена матрица, която редуцира системата с периодични коефициенти до система с постоянни коефициенти с матрица B . Тогава exp[ Bt ] е основната матрица на тази система, а exp[ BT ] е матрицата за картографиране на периода. Собствените стойности на тази матрица са положителни и трябва да съвпадат с множителите, което не може да бъде. Собствените посоки, съответстващи на тези собствени стойности в пространството R × S 1, определят цилиндри, които са инвариантни множества на автономна система (стабилни и нестабилни многообразия на съответното периодично решение), разглеждани като система с Т коефициенти. Ако периодичната система можеше да се сведе до тази система с постоянни коефициенти, тогава периодичната система
в R × S 1 цилиндрите също биха били инвариантни колектори. Но тъй като неговите множители са отрицателни, тогава собствените посоки на матрицата на монодромията, съответстващи на множителите, съответстват на лентите на Мьобиус (когато се картографират за период, точката x в тази посока преминава под действието на матрицата на монодромията
към точка −x ). Следователно, дифеоморфното картографиране на пространството R × S 1 на оригиналната периодична система в пространството R × S 1система с постоянни коефициенти, дефинирани слой по слой (за всяко t S 1 ) от матрица с периодични коефициенти, не може да съществува.
Нека дадем пример за линейна система с периодични коефициенти, която има отрицателни множители [11].
Пример 9.3 Да разгледаме линейна диференциална система от втори ред x ˙ = A ( t ) x с матрица от следния вид: