Дискретни случайни променливи
Приложение на закона за разпределение на дискретна случайна величина. Съответствие между възможните стойности и техните вероятности. Функция на вероятностното разпределение на случайна променлива. Плътност на вероятностното разпределение на дискретна случайна променлива.
Изпратете добрата си работа в базата знания е лесно. Използвайте формата по-долу
Студенти, докторанти, млади учени, които използват базата от знания в обучението и работата си, ще ви бъдат много благодарни.
Публикувано наhttp://www.allbest.ru/
Дискретни случайни променливи
Нека се извърши някакъв тест, резултатът от който е едно от несъвместимите случайни събития (броят на събитията е или краен, или изброим, т.е. събитията могат да бъдат номерирани). Всеки резултат е свързан с някакво реално число, т.е. в множеството от случайни събития е дадена реална функция X със стойности. Тази функция X се наричадискретнаслучайнастойност(терминът "дискретна" се използва, защото стойностите на случайна променлива са отделни числа, за разлика от непрекъснатите функции). Тъй като стойностите на случайна променлива се променят в зависимост от случайни събития, вероятностите, с които случайната променлива приема различни числени стойности, са от първостепенно значение. Законът за разпределение на случайна променлива е всяко отношение, което установява връзка между възможните стойности на случайна променлива и съответните им вероятности. Законът за разпределение може да приеме различни форми. За дискретна случайна променлива законът за разпределение е набор от двойки числа (), където са възможните стойности на случайната променлива и са вероятностите, с които тя приема тези стойности: . При което .
Двойките могатсе разглеждат като точки в някаква координатна система. Свързвайки тези точки с отсечки, получаваме графично изображение на закона за разпределение - многоъгълник на разпределение. Най-често законът за разпределение на дискретна случайна величина се записва под формата на таблица, в която се въвеждат двойки.
Пример.Монетата се хвърля два пъти. Съставете закона за разпределение на броя на падналите в този тест "гербове".
Решение.Произволна стойност X - номерът на "герб" в този тест. Очевидно X може да приеме една от трите стойности: 0, 1, 2. Вероятността „герб“ да се появи при едно хвърляне на монета е p=0,5, а „опашка“ е q = 1 - p = 0,5. Вероятностите, с които случайната променлива приема изброените стойности, могат да бъдат намерени с помощта на формулата на Бернули:
Записваме закона за разпределение на случайна променлива X под формата на таблица на разпределение
Някои закони за разпределение на дискретни случайни променливи, често срещани при решаването на различни задачи, са получили специални имена: геометрично разпределение, хипергеометрично разпределение, биномиално разпределение, разпределение на Поасон и др.
Законът за разпределение на дискретна случайна променлива може да бъде определен с помощта на функцията на разпределение F(x), която е равна на вероятността случайната променлива X да приеме стойности в интервала. x?: F(x) = P(X 5, тогава F(x)=P(X=-1)+P(X=2)+P(X=3)+ P(X=5)=1
Нека изградим графика (фиг. 3).
Ориз. 1 Графика на функцията на разпределение
Дискретни случайни променливи
Най-пълната информация за дискретна случайна променлива се дава от закона за разпределение на тази променлива.
ОПРЕДЕЛЕНИЕ. Законът за разпределение на дискретна случайна променлива е съответствието между възможните стойности и технитевероятности; може да се посочи таблично, аналитично (под формата на формула) и графично.
Когато таблица задава закона за разпределение на дискретна случайна променлива, първият ред на таблицата съдържа възможните стойности, а вторият - техните вероятности:
Пример 2. Има издадени 100 билета от парична лотария. Играят се една печалба от 50 хиляди тенге и десет печалби от 1 хиляда тенге. тенге. Намерете закона за разпределение на случайните променливи X - цената на възможна печалба за собственика на един лотарен билет.
Решение: Нека напишем възможните стойности на x: x1=50, x2=1, x3=0. Вероятностите за тези възможни стойности са: Р1=1/100=0.01, Р2=10/100=0.1, Р3=89/100=0.89. Нека напишем желания закон за разпределение:
ОПРЕДЕЛЕНИЕ. Математическото очакване на дискретна случайна променлива е сумата от продуктите на всички нейни възможни стойности и техните вероятности.
Нека случайната променлива X може да приема само стойностите x1, x2, x3. хn, чиито вероятности са съответно равни на p1, p2, p3. пн. Тогава математическото очакване M(x) на случайната променлива X се определя от равенството:
Ако дискретна случайна променлива X приеме изброим набор от възможни стойности, тогава:
освен това математическото очакване съществува, ако редовете от дясната страна на равенството се сближават абсолютно.
Пример 3. Намерете математическото очакване на случайна променлива X, като знаете закона за нейното разпределение:
Решение: Търсеното математическо очакване е равно на сумата от произведенията на всички възможни стойности на случайна величина и техните вероятности: М(х)=3.
Свойства на очакванията
1. Математическото очакване на постоянна стойност е равно на константата M(C)=C.
2. Постоянният фактор може да бъде изваден от знака за очакване: M(CX)=CM(X).
3. Математическо очакване на произведението на две независимислучайни променливи е равно на произведението на техните математически очаквания: M(XY)=M(X)*M(Y).
4. Математическото очакване на сумата от две случайни променливи е равно на сумата от математическите очаквания на членовете:
Пример 4. Независимите случайни променливи са дадени от следните закони на разпределение:
Намерете математическото очакване на случайните променливи X, Y.
Решение: Намерете математическото очакване на всяко от тези количества:
Теорема. Математическото очакване M(x) на броя на случванията на събития A в n независими опити е равно на произведението на тези опити по вероятността за възникване на събития във всеки опит: M(x)=np.
Нека X е случайна променлива и M(X) нейното математическо очакване. Разгледайте разликата X-M(X) като нова случайна променлива.
ОПРЕДЕЛЕНИЕ. Отклонението е разликата между случайна променлива и нейното математическо очакване.
Отклонението има следния закон на разпределение:
Теорема. Математическото очакване на отклонението е нула: M(X-M(x)=0).
Пример 5. Законът за разпределение на дискретна случайна променлива X е даден:
Докажете, че математическото очакване на отклонението е нула.
Решение: Намерете математическото очакване X:
Нека намерим възможните стойности на отклонението, за които изваждаме математическото очакване M(x) от възможните стойности на X:
Нека напишем закона за разпределение на отклонението:
Намерете математическото очакване на отклонението:
На практика често се изисква да се оцени дисперсията на възможните стойности на случайна променлива около нейната средна стойност.
ОПРЕДЕЛЕНИЕ. Дисперсия (разсейване) на дискретна случайна променлива е математическото очакване на квадрата на отклонението на случайната променлива от нейното математическо очакване.
Пример 6. Намерете дисперсията на случайна променлива X, която е дадена от следния законразпределения:
Решение: Намерете математическото очакване:
Нека напишем закона за разпределение на квадратното отклонение:
Теорема. Дисперсията е равна на разликата между математическото очакване на квадрата на случайната променлива X и квадрата на нейното математическо очакване:
Пример 7. Намерете дисперсията на случайна променлива X, която е дадена от следния закон на разпределение:
Решение: Намерете математическото очакване M(x):
Нека напишем закона за разпределение на случайната променлива X 2
Нека намерим математическото очакване M(x 2 ):
M(x 2 )=4*0.1+9*0.6+25*0.3=13.5
Желаната дисперсия D(x)=M(x 2 )-[M(x)] 2 =13,3-(3,5) 2 =1,05
1. Дисперсията на константата C е нула: D(C)=0
2. Константен фактор може да бъде изваден от знака на дисперсията чрез повдигането му на квадрат. D(Cx)=C 2 D(x)
3. Дисперсията на сумата от независими случайни променливи е равна на сумата от дисперсиите на тези променливи. D(X1+X2+.+Xn)=D(X1)+D(X2)+. +D(Xn)
4. Дисперсията на биномното разпределение е равна на произведението от броя опити и вероятността за настъпване и ненастъпване на събитие в едно изпитване D(X)=npq.
За да се оцени дисперсията на възможните стойности на случайна променлива около нейната средна стойност, в допълнение към дисперсията, служат и някои други характеристики. Сред тях е стандартното отклонение.
ОПРЕДЕЛЕНИЕ. Стандартното отклонение на случайна променлива X е корен квадратен от дисперсията:
Пример 8. Случайната величина X е дадена от закона за разпределение
Намерете стандартното отклонение y(x)
Решение: Намерете математическото очакване X:
Нека намерим математическото очакване X 2 :
M(x 2 )=2 2 *0,1+3 2 *0,4+10 2 *0,5=54
D(x)=M(x 2 )=M(x 2 )-[M(x)] 2 =54-6,4 2 =13,04
Изисквано стандартно отклонение
Теорема.Стандартното отклонение на сумата от краен брой взаимно независими случайни променливи е равно на корен квадратен от сумата на квадратните стандартни отклонения на тези променливи:
Такапроизволнастойносте променлива, която в резултат на опит може да приеме една или друга числена стойност.
По-нататък ще разгледаме два вида случайни променливи -- дискретни и непрекъснати.
1. Дискретни случайни променливи
Помислете за случайна променлива *, чиито възможни стойности образуват крайна или безкрайна последователност от числаx1,x2,..xn,....Нека е дадена функциятаp(x), чиято стойност във всяка точкаx=xi(i=1,2,...)е равна на вероятността стойността да приеме стойносттаxi.
Такава случайна променлива се наричадискретна(прекъсната). Функциятар(х)се наричазаконразпределениевероятностислучайнастойностили накраткозаконразпределение. Тази функция е дефинирана в точките на последователносттаx1,x2,..xn,....Тъй като във всяко от изпитанията случайната променлива винаги приема някаква стойност от своя диапазон, тогава
Пример1.Произволна стойност -- броят точки, които ще се появят при еднократно хвърляне на зар. Възможните стойности са числата 1, 2, 3, 4, 5 и 6. Освен това вероятността някоя от тези стойности да приеме е еднаква и равна на 1/6. Какъв ще е законът за разпределение? (Решение)
Пример2.Нека случайна променлива е броят на случванията на събитиетоAв един опит, сP(A)=p. Наборът от възможни стойности се състои от 2 числа 0 и 1:=0, ако събитиетоAне есе е случило и=1ако се е случило събитиеA. По този начин,
Да предположим, че са извършениnнезависими опити, всяко от които може или не може да доведе до събитиеA. Нека вероятността за възникване на събитиетоAвъв всеки опит е равна наp. Помислете за случайна променлива - броя на появяванията на събитиетоAвnнезависими опити. Областта на промяна се състои от всички цели числа от0доnвключително. Законът за разпределение на вероятноститеp(m)се определя от формулата на Бернули (13'):
Законът за разпределение на вероятностите на Бернули често се наричабиномен, тъй катоPn(m)еmтият член на биномното разширение.
Нека произволната променлива приеме всяка неотрицателна цяло число и
където е някаква положителна константа. В този случай се казва, че случайната променлива е разпределена споредзаконаПоасон. Имайте предвид, че заk=0трябва да поставим0!=1.
Както знаем, за големи стойности на брояnна независими опити, вероятносттаPn(m)за появаmпъти на събитиетоAе по-удобно да се намери не по формулата на Бернули, а по формулата на Лаплас [виж фиг. формула (15)]. Последното обаче дава големи грешки с ниска вероятностpза възникване на събитиетоAв един тест. В този случай, за да се изчисли вероятносттаPn(m), е удобно да се използва формулата на Поасон, в която трябва да се постави .
Формулата на Поасон може да се получи като граничен случай на формулата на Бернули с неограничено увеличаване на броя на опититеnи с вероятност, клоняща към нула.
Пример3.Партида от 1000 части е пристигнала във фабриката. Вероятността, чечастта ще бъде дефектна, равна на 0,001. Каква е вероятността сред пристигналите части да има 5 дефектни части? (Решение)
Ако възможните стойности на случайна променлива образуват крайна последователностx1,x2,..xn, тогава законът за разпределение на вероятностите на случайната променлива е даден под формата на следната таблица, в която