Експоненциалната функция и нейното приложение в живота, Социална мрежа на педагозите
В тази работа учениците от 10 клас изучават подробно една от важните глави на гимназиалната математика „Експоненциална функция на нейните свойства и графика“ и показват нейното приложение в живота, науката и технологиите.
| pokazatelnaya_funktsiya_i_ee_primenenie_v_zhizni.pptx | 312,71 KB |
Надписи на слайдове:
Проект на тема: „Експоненциална функция и нейното приложение в живота, науката и технологиите“ Изпълнители: Помисухина Алина, Ляндин Вадим Ученици от 10-ти „А“ клас на Шатковската гимназия № 1. Ръководител: учител по математика Стьопина Т.П. Шатки 2012 г
Експоненциална функция е функция от формата y= a ͯ, където a е дадено число, така че a>0, a≠ 1. Определение
1. Домейнът на експоненциалната функция е множеството R на всички реални числа. 2. Множеството от стойности на експоненциалната функция е множеството от всички положителни числа 3. Експоненциалната функция y \u003d a ˟ нараства върху множеството от всички реални числа, ако a> 1, и намалява, ако 0
Ако извадите врящ чайник от огъня, тогава той първо се охлажда бързо, а след това охлаждането става много по-бавно, това явление се описва с формулата T = ( T 1 - T 0 ) e - kt + T 1 Приложение на експоненциалната функция в живота, науката и технологиите.
Когато телата падат в безвъздушно пространство, тяхната скорост непрекъснато нараства. Когато телата падат във въздуха, скоростта на падане също се увеличава, но не може да надвишава определена стойност. Ако приемем, че силата на съпротивлението на въздуха е пропорционална на скоростта на падане на парашутиста, т.е. че F= kv , то след t секунди скоростта на падане ще бъде равна на: v=mg/k(1-e -kt/m ), където m е масата на парашутиста.
Много трудни математически проблеми трябва да бъдат решени в теорията на междупланетносттапътуване . Един от тях е проблемът за определяне на масата на горивото, необходимо за придаване на желаната скорост на ракетата v. Тази маса M зависи от масата m на самата ракета (без гориво) и от скоростта v 0, с която продуктите на горенето изтичат от ракетния двигател. Ако не вземем предвид съпротивлението на въздуха и привличането на Земята, тогава масата на горивото се определя по формулата: M=m ( e v /v0 -1) (формула на К. Е. Циалковски). Например, за да се даде на ракета с маса 1,5 тона скорост 8000 m / s, е необходимо да се вземат приблизително 80 тона гориво при скорост на изтичане на газ 2000 m / s.
Ако по време на трептенията на махало, тежест, люлееща се върху пружина, съпротивлението на въздуха не се пренебрегва, тогава амплитудата на трептенията става все по-малка, трептенията изчезват. Това явление може да се обясни с формулата: s= Ae -kt sin ( ωt+ω ).
Нарастване на населението. Изменението на броя на хората в страната за кратък период от време се описва с формулата , където N0 е броят на хората в момент t=0, N е броят на хората в момент t, a е константа.
По същия принцип се разпространиха зайците, донесени в Австралия, които се превърнаха в екологична катастрофа за този уникален регион. Растежът на различни видове микроорганизми и бактерии, дрожди, ензими, всички тези процеси се подчиняват на един и същ закон: N = N 0 e kt Законът за органичното размножаване: при благоприятни условия (без врагове, голямо количество храна) живите организми ще се размножават според закона на експоненциалната функция. Например: една домашна муха може да даде 8 10 14 потомство през лятото. Теглото им ще бъде няколко милиона тона (а теглото на потомството на двойка мухи ще надвишава теглото на нашата планета), те ще заемат огромно пространство и ако ги подредите във верига, тогава дължината й ще бъде по-голяма от разстоянието от Земята до Слънцето. Но тъй като освен мухите, имамного други животни и растения, много от които са естествени врагове на мухите, броят им не достига горните стойности.
Когато радиоактивното вещество се разпадне, количеството му намалява, след известно време остава половината от първоначалното вещество. Този период от време t 0 се нарича полуживот. Общата формула за този процес: m \u003d m 0 (1/2) - t / t 0, където m 0 е първоначалната маса на веществото. Колкото по-дълъг е полуживотът, толкова по-бавно е разпадането на веществото. Това явление се използва за определяне на възрастта на археологическите находки. Радият, например, се разпада по закона: M = M 0 e - kt. И използвайки тази формула, учените изчислиха възрастта на Земята (радият се разпада за около време, равно на възрастта на Земята).
Изследвайки местоположението на планетите от Слънчевата система около Слънцето, немският астроном I.E. Боде през 1772 г. съставя следната таблица: № Планета Разстояние ( L ) до слънцето (в астрономически единици) 1 Меркурий 0,4 2 Венера 0,7 3 Земя 1 4 Марс 1,5 5 6 Юпитер 5,2 7 Сатурн 9,5 По това време са били открити само шест планети, така че всички изчисления спират до Сатурн. Тези изчисления са направени от I.E. по следната формула: Тази формула е особено точна за Венера, Земя и Юпитер.
Както знаете, между Марс и Юпитер няма планета, но ако следвате таблицата на Боде, трябва да има някакво космическо тяло в тази орбита. Наистина, след известно изследване учените откриха астероидния пояс. Това беше наистина триумф на науката и триумф на математиката!