Експонента (експоненциална функция, експоненциална функция)
Обикновено математиците наричат функцията y \u003d e x, където е основата на естествените логаритми - число, което не е Peer; . В същото време към името му често се добавя прилагателното „основен“, за да се разграничи от експоненциалната функция y \u003d a x с положителна реална основа a, различна от единица, която също се разглежда в нашата гимназия - вижте текста по-долу.
За всяко (реално или комплексно) число z експонентата може да бъде дефинирана чрез отношението
(*)
(Вижте статията Забележителни граници). Експонентата има следните основни свойства: за всякакви стойности на аргумента z, равенствата
.
1. Експоненциалната функция на реален аргумент. В хода на математическия анализ експоненциалната функция y \u003d a x се разглежда за положителни стойности на a, които не са равни на 1 (). Тя е свързана с основната експоненциална формула
Нека разгледаме основните му свойства.
Експоненциалната функция y \u003d a x е дефинирана на цялата числова ос, положителна, монотонна (при 0 1 нараства), непрекъсната, безкрайно диференцируема (за всяка стойност на x има производни от всички порядки).
Производната и първопроизводните на експоненциалната функция се намират по формулите
.
По-специално, за главния показател y = e x тези формули приемат особено проста форма:
.
В близост до която и да е точка от нейната област на дефиниране (т.е. за всяка стойност на x), експонентата може да бъде разширена в степенен ред, например:
(**)