Елементи на симетрия на додекаедъра

  • Додекаедърът има център на симетрия и 15 оси на симетрия. Всяка от осите минава през средните точки на противоположни успоредни ребра.
  • Додекаедърът има 15 равнини на симетрия. Всяка от равнините на симетрия минава във всяко лице през върха и средата на противоположния ръб.

Интересни факти

  • Радиоларията Circorrhegma dodecahedra [10], описана от Ернст Хекел през 1887 г., има форма, близка до додекаедър.
  • През 2003 г., когато се анализират данни от космическия кораб WMAP, се излага хипотеза, че Вселената е додекаедрично пространство на Поанкаре [11][12][13].

В културата

  • Додекаедърът се използва като генератор на произволни числа (заедно с други кости) в настолни ролеви игри и се обозначава като d12 (зарове - кости).
  • Настолните календари са направени под формата на додекаедър от хартия, където всеки от дванадесетте месеца е разположен на едно от лицата.
  • В играта Pentacore светът е представен под формата на тази геометрична фигура.
  • В игрите Sonic 3 и Sonic and Knuckles изумрудите на хаоса изглеждат като додекаедър.

Икосаедър

икосаедър
Типправилен многостен
ръб, крайправоъгълен триъгълник
лица
ребра
Върхове
Фасети в горната част
Група на симетрияИкосаедричен (Ih)
Двоен полиедърдодекаедър

Икосаедър и описаната му сфера

Икосаедър (от старогръцки εἴκοσι „двадесет“; ἕδρον „седнал“, „основа“) — правилен изпъкнал многостен,двадесетстраничен [1] , един отПлатонови тела. Всяко от 20-те лица е равностранен триъгълник. Броят на ръбовете е 30, броят на върховете е 12. Икосаедърът има 59 звезди.

Съдържание

  • 1. История
  • 2 Основни формули
  • 3 свойства
  • 4 Пресечен икосаедър
  • 5 в света
  • 5.1 Икосаедрични тела
  • 6 Вижте също
  • 7 бележки
  • 8 Литература

    • История

    Евклид в твърдение 16 от книга XIII от „Началата“ се занимава с изграждането на икосаедър, като първо получава два правилни петоъгълника, лежащи в две успоредни равнини – от десетте му върха, а след това – останалите два върха срещуположни един на друг [2][3]:127-131 . Пап от Александрия в „Математически сборник“ се занимава с изграждането на икосаедър, вписан в дадена сфера, доказвайки по пътя, че неговите дванадесет върха лежат в четири успоредни равнини, образувайки четири правилни триъгълника в тях [4][3]:315-316 .

    Основни формули

    ПовърхнинатаS, обемътVна икосаедър с дължина на ръбаa, както и радиусите на вписаната и описаната сфера се изчисляват по формулите:

    Радиус на вписаната сфера [5] :

    Радиус на описаната сфера [5] :

    Свойства

    • Всичките дванадесет върха на икосаедъра лежат три в четири успоредни равнини, образувайки правилен триъгълник във всяка от тях.
    • Десет върха на икосаедъра лежат в две успоредни равнини, образувайки в тях два правилни петоъгълника, а останалите два са срещуположни един на друг и лежат в двата края на диаметъра на описаната сфера, перпендикулярна на тези равнини.
    • Икосаедър може да бъде вписан в куб, докато шест взаимно перпендикулярни ръба на икосаедъра ще бъдат разположени съответно на шест страни на куба, останалите 24ръбове вътре в куба, всичките дванадесет върха на икосаедър ще лежат на шест лица на куба
    • Тетраедър може да бъде вписан в икосаедър, така че четирите върха на тетраедъра да са подравнени с четирите върха на икосаедъра.
    • Икосаедър може да бъде вписан в додекаедър, като върховете на икосаедъра са подравнени с центровете на лицата на додекаедъра.
    • Додекаедър може да бъде вписан в икосаедър, като върховете на додекаедъра и центровете на лицата на икосаедъра са подравнени.
    • Пресечен икосаедър може да се получи чрез отрязване на 12 върха, за да се образуват прави лица на петоъгълник. В същото време броят на върховете на новия многостен се увеличава 5 пъти (12×5=60), 20 триъгълни лица се превръщат в правилни шестоъгълници (общият брой на лицата става 20+12=32), а броят на ръбовете се увеличава до 30+12×5=90.
    • Можете да сглобите модела на икосаедър, като използвате 20 тетраедъра.
    • Невъзможно е да се сглоби икосаедър от правилни тетраедри, тъй като радиусът на описаната сфера около икосаедъра, съответно, и дължината на страничния ръб (от върха до центъра на такъв монтаж) на тетраедъра е по-малък от ръба на самия икосаедър.

    Пресечен икосаедър

    Молекулата на фулерена C60 е пресечен икосаедър

    Пресеченият икосаедър е многостен, състоящ се от 12 правилни петоъгълника и 20 правилни шестоъгълника. Има икосаедричен тип симетрия. Всъщност футболната топка не е топка, а пресечен икосаедър.