Подобно на седмоъгълника, осмоъгълникът също има две октаграмни звездни форми, едната, , е звезден многоъгълник, а другата, , е съставна от два квадрата.
Формата на звезда на полиедър се формира чрез удължаване на ръбовете и лицата, докато се пресекат и образуват нов многостен или връзка. Вътрешността на новия полиедър е разделена от лицата му на определен брой клетки. Плоските лица на полиедъра могат да разделят пространството на голям брой такива клетки и продължаването на процеса на разширяване може да улови повече клетки. За симетричните полиедри тези клетки се разпадат на групи (набори) от конгруентни клетки. Казваме, че клетките в такива конгруентни множества са от един и същи тип. Общ метод за намиране на звездни форми е да изберете един или повече типове клетки.
Този подход може да доведе до огромен брой възможни форми, така че се използват допълнителни критерии за намаляване на броя на тези звездни форми.
Съвкупността от клетки, които образуват затворено ниво около ядрото, се нарича обвивка (слой). За симетрични полиедричерупката може да се състои от един или повече видове клетки.
- Основни звездни форми.Последователното добавяне на слоеве към ядрото (оригинален многостен) води до основен набор от звездни форми.
- Напълно достъпни форми.Долните страни на лицата могат да бъдат покрити с "висящи" части. При напълно достъпните форми няма такива затварящи части и всички видими части на лицето се виждат от някаква точка.
- Звезди от един и същи тип.Има само един вид издатини (лъчи) или звездообразни върхове (т.е. всички върхове са еднакви). Всички подобни форми са напълно достъпни.
- Главни звездни форми.Ако многостенът има равнини с огледална симетрия, ръбовете, лежащи върху тези равнини, се наричат главни линии. Ако всички ръбове лежат на главните линии, формата на звездата е основната. Всички основни форми на звезди са напълно достъпни.
- Звездни форми на Милър.Петдесет и деветте икосаедра от Коксетър, Дю Вал, Флейзър и Петри изброява пет правила, предложени от Милър [en] . Въпреки че тези правила се прилагат конкретно за икосаедри, те са адаптирани за произволни полиедри. Те гарантират, че ротационните симетрии на оригиналния полиедър са запазени и че всяка форма на звезда има различен външен вид. Всички горепосочени видове звездовидни форми попадат в правилата на Милър.
- Частична форма на звезда— ако не всички елементи от посочения размер са увеличени.
- Частично симетрична форма- ако не всички елементи растат симетрично.
Архимедовите тела и техните двойници също могат да бъдат намалени до форма на звезда. Обикновено в този случай се добавя правилото, че всичкиоригиналните равнини на лицата трябва да участват в изграждането на формата, тоест не се допускат частично звездовидни форми. Например, кубът обикновено не се счита за звезда на кубоктаедъра.
Обобщавайки правилата на Милър, получаваме:
- 4 звезди на ромбичния додекаедър
- 187 звезди на триакистететраедъра
- 358 833 097 звезди на ромбичния триаконтаедър
- 17 звезди на кубоктаедър (4 показани в книгата на Wenninger Models of Polyhedra)
- Неизвестен брой звезди на икозидодекаедъра. Има 7 071 671 нехирални звезди, но броят на хиралните форми не е известен. (19 фигури са в книгата на Wenninger "Модели на многостени")
Седемнадесет неизпъкнали еднакви полиедри са звездовидни форми на Архимедови тела.
Правилата на Милър
ВПетдесет и деветте икосаедра, Милър предлага набор от правила за определяне кои звездни образувания трябва да се считат за „достатъчно значими и отчетливи“.
Тези правила са адаптирани за получаване на звездни форми за всеки полиедър. Използвайки правилата на Милър, намираме:
- Няма звездни форми на тетраедъра, тъй като всички лица са съседни
- Няма форми на кубична звезда, тъй като несъседните лица са успоредни и следователно не могат да бъдат разширени до пресичане (получаване на нов ръб)
- Има 1 звезда на октаедъра, звездният октаедър
- Има 3 звездовидни додекаедъра - малък звездовиден додекаедър, голям додекаедър и голям звездовиден додекаедър, и трите са тела на Кеплер-Поансо.
- Има 58 звезди на икосаедъра, включително Големия икосаедър (едно от телата на Кеплер-Поансо), втората и последна звезда на икосаедъра. 59-ти модел в книгатаПетдесетдевет икосаедъра— самият оригинален икосаедър.
Много "звездни звезди на Милър" не могат да бъдат получени директно с помощта на метода на Кеплер. Например, много от тях имат празни центрове, където лицата и ръбовете на оригиналния многостен напълно липсват - няма от какво да се започне. От друга страна, методът на Кеплер произвежда звезди, напълно забранени от правилата на Милър, тъй като техните клетки са свързани с върхове или ръбове, дори ако лицата им са прости многоъгълници. Това разграничение не привлече изрично внимание до статията на Инчбалд [1] .
Други правила за образуване на звездна форма
Правилата на Милър не предполагат никакви "правилни" начини за номериране на звездите. Правилата се основават на комбиниране на части в рамките на звездна диаграма [bg] по определен начин и не вземат предвид топологията на получените лица. В резултат на това има добре обосновани стелажи на икосаедъра, които не са включени в списъка на Коксетър. Един полиедър е открит от Джеймс Бридж през 1974 г. [2] . От друга страна се поставя въпросът дали някои от "звездите на Милър" изобщо са звезди - една от формите включва няколко напълно отделени клетки, плаващи симетрично в пространството.
Все още не е напълно разработен алтернативен набор от правила, който приема всички тези точки. Най-голям напредък беше постигнат, когато беше забелязано, че образуването на звездна форма е обратният (двоен) процес наизрязването, при който части се отстраняват от полиедъра, без да се създават нови върхове. За всяка звезда на някакъв полиедър съществува двойно фасетиране на двойния полиедър и обратно. Чрез изучаване на фасетите на двойния полиедър, получаваме разбиране за звездните форми на оригиналния многостен.Бридж откри своя звездовиден икосаедър, като изучава разрезите на своя двоен додекаедър.
Някои математици, които изучават многостени, вземат предвид, че образуването на звездни форми е двупосочен процес, така че всеки два многостена, които имат еднакъв набор от лицеви равнини, са звездни форми един на друг. Такова разбиране е приемливо, ако се разработва общ алгоритъм за компютърна програма, но е малко полезно в други случаи.
Много примери за форми на звезди могат да бъдат намерени в статията Списък на моделите на многостени на Wenninger.
Процесът на звездообразуване може да се приложи и към полиедри в пространства с по-високи измерения. Звездната диаграма [en] на n-мерен полиедър се намира на (n-1)-мерната хиперравнина на даден фасет (лице, което има измерение 1 по-малко от измерението на пространството).
Например, в 4-измерното пространство, голямата голяма звездовидна 120-клетъчна [en] е последният етап от формирането на звездовидни форми на четириизмерната правилна 120-клетъчна.
Първият опит да се дадат систематични имена на правилните звездовидни полиедри е направен от Кейли (сега известни като тела на Кеплер-Поансо). Тази система е широко, но не винаги последователно, адаптирана към други полиедри в 3D и извън него.
Конуей разработи терминология за звездни многоъгълници, 3-измерни и 4-измерни полиедри [3] .
Венингер забеляза, че някои полиедри, като куба, нямат звездовидни форми. Клетките за образуване на звездни форми обаче могат да бъдат изградени като призми, които отиват до безкрайност. Фигурите, които включват такива призми, са полуполиедри. Според повечето дефиниции на полиедри, тези звездовидниформите не са, строго погледнато, полиедри.
Наред с приноса му към математиката, за Магнус Венингер се пише в контекста на връзката между математиката и изкуството като човек, който е направил „особено красиви“ модели на сложни звездовидни полиедри [4]
Италианският ренесансов художник Паоло Учело създава мозаечен под, изобразяващ малък звездовиден додекаедър в базиликата Сан Марко във Венеция (около 1430 г.). Това изображение на Учело е използвано като символ на Венецианското биенале през 1986 г. (темата е „Изкуство и наука“ [5] ).Същата форма на звезда е в центъра на две литографии на Ешер -Контраст (Ред и хаос), 1950 г. иГравитация, 1952 г. [6] .
|
