Функция (математика)

Показилифункция(лат. functio -изпълнение, реализация) е едно от основните понятия на математиката, изразяващо зависимостта на една величина от друга.

Съдържание

Функция като дисплей[редактиране]

Най-честата интерпретация на концепцията за функция е да я идентифицира с концепцията за картографиране:

Дефиниция.Нека $X$ и $Y$ са две множества. Законът $F$, според който всеки елемент $x \in X$ е свързан сединиченелемент $y \in Y$, се нарича преобразуване на множеството $X$ в множеството $Y$ или функция, дефинирана върху $X$ със стойности в $Y$.

Съпоставянията се дефинират, както следва:

$F:\ X \към Y$ или $X\\към^ Y$ за съпоставяне на $F$, множеството $X$ към множеството $Y$.
$y=F(x)$ или $F:x \mapsto y$ или $x \mapsto^ y$.

След това множеството $X$ се наричадомейнна картата $F$ (означава сеD(f)илиD(y).).
Множеството $Y$ еобхватътна преобразуването $F$.
Елементът $x$ се наричааргументилинезависима променлива,
Елементът $y=F(x)$ естойностилизависима променлива.

Ако е необходимо, съпоставянията могат да бъдат разграничени в зависимост от природата на множествата $X$ и $Y$. Ако $X$ и $Y$ са числови множества, като $\mathbb$ или $\mathbb$, тогава картата се нарича функция. Ако $X$ или $Y$ са многомерни, например $\mathbb^n$ или $\mathbb^n$, тогава картата се наричавекторна функция. Ако $X$ е от произволен характер и $Y$ е поле, тогава картографирането се наричафункционал. В специални случаи се използват и други термини: оператор, функтор, трансформация, морфизъм и др.д.

Официално определение[редактиране]

Нека са дадени две множества $X\!$ и $Y\!$. Преобразуването $F\!$ на множеството $X\!$ към множеството $Y\!$ е подмножество $F\подмножество X \пъти Y$, така че за всеки $x\in X$ съществува уникален елемент $y\in Y$, такъв че $(x,y)\in F$. Тук $X \пъти Y$ обозначава директния продукт на множествата $X$ и $Y$.

Допълнение към официалното определение[редактиране]

Такава дефиниция обаче изключва дефиницията на двусмислени функции, използвани в математиката (особено в смятането на функции на комплексна променлива).

Нека са дадени множества $X$ и $Y$, тогава подреденото множество от всички двойки $f=\left\$ се нарича функция на един аргумент тогава и само ако за произволни $(x',y')\in f$ и $(x'',y'')\in f$ следва от $y'\neq y''$, че $x' \neq x''$.

Всъщност това означава, че промяна в стойността на функция може да възникне само поради промяна в нейния аргумент.

Същото определение може лесно да се обобщи за случай на функция от много аргументи.

При дадени набори $X_,X_,\ldots,X_n$ и набор $Y$, тогава подреденият набор от всички кортежи $f=\left\,x_,\ldots,x_,y)\right\>$ се нарича функция от $n$ аргументи тогава и само ако за който и да е $(x_',x_',\ldots,x_',y')\in f$ и $(x _'' ,x_'',\ldots,x_'',y'')\in f$ $y'\neq y''$ предполага, че $x_' \neq x_',\forall x\in [1,n]\cap\mathbb$ [1] .

Свързани понятия[редактиране]

Стесняване [редактиране]

Нека е дадено преобразуване $F:X \към Y$ и $M \подмножество X$. Тогаваограничениетона функцията $F$ до $M$ е функцията $\left.F\right\vert_$, дефинирана от равенството $$\left.F\right\vert_(x) = F(x),\; \за всички x\in M.$$

Това определение подчертава, че фиксобхватът е част от дефиницията на функцията.

Изображение на комплекта[редактиране]

Нека $M \подмножество X$. Тогаваобразътна множеството $M$ е подмножеството $Y$, определено от равенството $$F(M) = \< F(x) \mid x \in M \>.$$

Множеството $F(X)$ се нарича образ на $F$.

Прототип [редактиране]

Нека е дадено преобразуването $F:X \към Y$, $x\в X, \;y\в Y$ и $y=F(x)$. Тогава $x$ се наричаproimage$y$, а $y$ се наричаimage$x$. Съгласно дефиницията за картографиране всеки елемент $x\в X$ трябва да има точно едно изображение, но елементът $y\в Y$ може да няма предобрази или да има едно или повече.

Пример.Дадена е функция $F:\mathbb \to \mathbb$, където $F(x) = x^2$. Тогава

$y = -1$ няма предобрази;
$y = 0$ има единичен предобраз $x = 0$;
$y = 1$ има два прообраза: $x_1 = 1$ и $x_2 = -1$.

Пълен прообраз на елемент[редактиране]

Нека са дадени преобразуването $F:X \към Y$ и $y \в Y$. Тогава множеството \(\

Пример.Нека $F:\mathbb \to \mathbb$ и $F(x) = \sin x$. Тогава $$F^(1) = \left\+2\pi k \mid k \in \mathbb\right\>.$$

Пълен обратен образ на набор[редактиране]

Нека $N \подмножество Y$. Тогавапредобразътна множеството $N$ е подмножеството $X$, определено от равенството $$F^(N) = \< x \in X \mid F(x) \in N \>.$$

Пример.Нека $F: \mathbb \to \mathbb$ и $F(x) = \cos x$. Тогава

Свойства на прототипи и изображения[редактиране]

$F^(A \cup B) = F^(A) \cup F^(B), \; \forall A,B \subset Y$;
$F^(A \cap B) = F^(A) \cap F^(B), \; \за всички A,B \подмножество Y$;
$F(A \cup B) = F(A) \cup F(B),\; \forallA,B \подмножество X$;
$F(A \cap B) \подмножество F(A) \cap F(B), \; \за всички A,B \подмножество X$. Обърнете внимание на липсата на равенство в този случай.

График [редактиране]

Нека е дадено преобразуване $F: X \към Y$. Тогава неговатаграфика$\Gamma$ е множеството $$\Gamma = \ < (x,F(x)) \mid x \in X \>\subset X \times Y,$$ където $X \times Y$ обозначава декартовото произведение на множествата $X$ и $Y$.

Графикът на непрекъсната функция $F:\mathbb \to \mathbb$ е крива в 2D равнина.
Графиката на непрекъсната функция $F:\mathbb^2 \to \mathbb$ е повърхност в триизмерно пространство.

Исторически очерк [редактиране]

Подобно на други понятия в математиката, понятието функция не се разви веднага, а измина дълъг път на развитие. Работата на П. Ферма „Въведение и изследване на плоски и твърди места“ (1636 г., публикувана 1679 г.) казва: „Винаги, когато има две неизвестни количества в крайното уравнение, има място“. По същество тук говорим за функционална зависимост и нейното графично представяне („място” за Ферма означава линия). Изследването на линиите чрез техните уравнения в "Геометрия" на Р. Декарт (1637) също показва ясно разбиране на взаимната зависимост на две променливи. I. Barrow ("Лекции по геометрия", 1670) установява в геометрична форма взаимната реципрочност на действията на диференциация и интеграция (разбира се, без да използва самите тези термини). Това вече свидетелства за напълно ясно овладяване на понятието функция. В геометрична и механична форма срещаме това понятие и при И. Нютон. Въпреки това терминът "функция" се появява за първи път едва през 1692 г. от Г. Лайбниц и освен това не съвсем в съвременния му смисъл. Г. Лайбниц нарича различни сегменти функция,свързани с всяка крива (например абсцисите на нейните точки). В първия отпечатан курс „Анализ на безкрайно малки за познаване на кривите линии“ от Лопитал (1696) терминът „функция“ не се използва.

Първата дефиниция на функция в смисъл, близък до съвременния, се намира в И. Бернули (1718): „Функцията е количество, съставено от променлива и константа.“ Това не съвсем ясно определение се основава на идеята за определяне на функция чрез аналитична формула. Същата идея се появява в дефиницията на Л. Ойлер, дадена от него в "Въведение в анализа на безкрайността" (1748): "Функция на променлива величина е аналитичен израз, съставен по някакъв начин от тази променлива величина и числа или постоянни величини." Въпреки това дори Л. Ойлер не е чужд на съвременното разбиране за функция, което не свързва понятието функция с нито един от нейните аналитични изрази. В неговото "Диференциално смятане" (755) се казва: "Когато някои количества зависят от други по такъв начин, че когато последните се променят, те самите претърпяват промяна, тогава първите се наричат функции на последните."

И все пак през осемнадесети век не е имало достатъчно ясно разбиране за разликата между функция и нейния аналитичен израз. Това беше отразено в критиката, която Л. Ойлер подложи на решението на проблема с вибрациите на струните, предложено от Д. Бернули (1753 г.). Решението на Д. Бернули се основава на твърдението, че е възможно да се разшири всяка функция в тригонометрична серия. Възразявайки срещу това, Л. Ойлер посочи, че такава разложимост би осигурила аналитичен израз за всяка функция, докато функцията може да не я има (може да бъде дадена чрез графика, „начертана чрез свободно движение на ръката“). Тази критика е убедителна и от съвременна гледна точка, защото не всички функции позволяват аналитично представяне.(Вярно, Д. Бернули говори за непрекъсната функция, която, както установи К. Вайерщрас през 1885 г., винаги е аналитично представима, но не може да се разшири в тригонометрична серия). Въпреки това, други аргументи на Л. Ойлер вече са погрешни. Например, той вярва, че разширяването на функция в тригонометрична серия осигурява единичен аналитичен израз за нея, докато тя може да бъде "смесена" функция, представяна на различни сегменти с различни формули. Всъщност едното не противоречи на другото, но в онази епоха изглеждаше невъзможно два аналитични израза, съвпадащи на част от сегмента, да не съвпадат по цялата му дължина.

От началото на 19 век понятието функция все по-често се дефинира без да се споменава нейното аналитично представяне. В "Трактат за диференциалното и интегралното смятане" (1797-1802) S. Lacroix казва: "Всяко количество, чиято стойност зависи от едно или много други количества, се нарича функция на тези последни." В "Аналитичната теория на топлината" Дж. Фурие (1822) има фраза: "Функцията \ (fx \) обозначава напълно произволна функция, т.е. последователност от дадени стойности, подчинени или не на общ закон и съответстващи на всички стойности \ (x \), съдържащи се между \ (0 \) и всяка стойност \ (x \)". Определението на Н. И. Лобачевски също е близко до съвременното: „... Общото понятие за функция изисква функцията на $x$ да се нарича число, което е дадено за всеки $x$ и заедно с $x$ постепенно се променя. Стойността на функция може да бъде дадена или чрез аналитичен израз, или чрез условие, което осигурява средство за тестване на всички числа и избор на едно от тях, или накрая зависимостта може да съществува и да остане неизвестна. На същото място малко по-надолу се казва: „Широкият възглед на теорията допуска съществуването на зависимост само в смисъл, четака че числата едно с друго във връзка да се разбират като дадени заедно. По този начин съвременната дефиниция на функция, освободена от препратки към аналитичната задача, обикновено приписвана на P. Dirichlet (1837), беше многократно предложена пред него.