Геодезически линии - Степанов С
Геодезически линии (Степанов С.Е., 2000), МАТЕМАТИКА
Разглежда се един от обектите на класическата диференциална геометрия – геодезически линии. Описани са локални свойства и са посочени възможните им приложения в неевклидовата геометрия, релативистката физика и геодезията.
Владимирски държавен педагогически университет
На извита повърхност геодезичните линии, заместващи прави линии, ви позволяват да изграждате геометрия, както се прави на равнина.
Статията въвежда основите на теорията на геодезичните (вижте например [1]), като използва примери за резултати, получени от известни учени в миналото и съвременни постижения.
НА СФЕРА, ЦИЛИНДЪР
И ИЗПЪКНАЛИ ПОЛИТОПИ
До 16 век хората са смятали, че живеят на евклидовата равнина E2. Тази заблуда им позволи да смятат, че измерват дългите разстояния с отсечки (най-късите, според дефиницията на Архимед) и използват теоремите на геометрията на Евклид на земята, по-специално добре известната теорема на Питагор c2 = a2 + b2 за правоъгълен триъгълник с крака a, b и хипотенуза c.
Но ако вярвате на легендите, започвайки от края на 5-ти век пр. н. е. (пр. н. е.), гръцките философи и астрономи (включително известният философ и математик Питагор сред тях) правят предположения за сферичността на Земята, а през 3-ти век пр. н. е. многостранният гръцки учен Ератостен от Кирена изчислява обиколката на земното кълбо с голяма степен на точност. В същото време се обособява като самостоятелна наука и получава съвременното си наименование геодезия. Последният изучава методите за измерване на земната повърхност и определяне на размера на земното кълбо, което е необходимо за съставяне на географски карти, необходими на търговията, навигацията и военното дело.
За доказателствоТъй като минималното разстояние между две произволни точки M1 и M2 се реализира върху дъгата на окръжност с голям радиус на сферата S2, разглеждаме тази окръжност като линията G на пресечната точка на сферата S2 с равнината E2, минаваща през нейния център. Тогава отражението f на пространството E3 по отношение на равнината E2 ще бъде трансформация, запазваща разстоянието f : S2 S2 за сферата S2 с набор от фиксирани точки G = S2 между произволни две точки, не върху S2.
Ако в този случай дъгата M1M2 на кръг с голям радиус има дължина, по-голяма от pR, тогава за измерване на разстоянието е необходимо да изберете втората дъга от същия кръг. Тъй като в първия случай (фиг. 1) е възможно да се намери линия, свързваща точките M1 и M2 с дължина, по-малка от pR. Втората от двете дъги на окръжност с голям радиус ще бъде най-късата и нейната дължина ще измерва разстоянието между точките M1 и M2. В този случай самият кръг с голям радиус се нарича геодезична линия на сферата S2.
Нека си зададем въпроса: как стои въпросът с измерването на разстоянието между точки на други познати ни повърхности?
Например, върху цилиндър разстоянието между произволни две точки M1 и M2 се измерва с дължините на сегменти от праволинейни генератори, дъги от кръгови сечения и спирални линии, свързващи тези точки. За да докажем това, нека разрежем цилиндъра по една от праволинейните му образуващи и след това да го огънем към равнината E2. В резултат на това праволинейните генератори няма да претърпят никакви промени, докато дължините на дъгите на посочените криви ще се запазят, но самите дъги ще се превърнат в сегменти от прави линии (фиг. 2). Следователно сегментът на правата линия, свързващ точките M1 и M2, след възстановяване на цилиндъра в предишната му форма, ще се появи под формата на най-късия - сегмент на праволинейна образуваща, дъга от кръгово сечение или спирала (виж фиг. 2). Всички тези криви се наричат геодезични линии на цилиндъра.
Заизчисляването на разстоянието между две точки на повърхността на изпъкнал многостен протича по подобен начин. А именно, разглеждаме разработка на полиедър и две дадени точки са свързани с най-къс път, който се състои от прави сегменти в лицата на разработката. Така например, в случай на куб, едно се избира от неговите единадесет различни сканирания, това, което ви позволява да свържете точките, дадени предварително с прав сегмент.
Кръговете с голям радиус на сферата S2 и кръговите сечения на цилиндъра принадлежат към така наречения клас затворени криви, всяка от които се връща в началната точка без прекъсвания и не се пресича. По този начин безкраен брой затворени геодезични минават през всяка точка на сфера, но само една на цилиндър.
Как ще изглеждат затворените геодезически върху изпъкнали полиедри? Отговорът на този въпрос е по-лесно да се даде на примера на куб. Ще разглеждаме затворена геодезична линия на куб като многоъгълник с минимален периметър, всяка страна на който лежи в своето лице на куба. Очевидно три семейства от такива геодезични лежат на равнини, успоредни на лицата на куба. Елементарни изчисления (виж [2]) ни позволяват да заключим, че има още четири семейства затворени геодезични, които имат формата на шестоъгълници със страни, успоредни на диагоналите на лицата на куба. Така през всяка точка на куба минават четири различни затворени геодезични.
Имайте предвид, че в общата формулировка въпросът за съществуването на затворени геодезични върху дадена повърхност е много сложен. На неговото изследване са посветени много статии и дори монография (виж [3]). Например, един от най-новите резултати в общата теория на относителността беше доказателството за съществуването в пространство-времето на Айнщайн на затворена времеподобна геодезична,дадено фигуративно име.
Обобщавайки междинните резултати от примерите, нека да преминем към по-общи понятия и факти, известни на математиците.
ГЕОДЕЗИЧЕСКИ ЛИНИИ И ТЕХНИТЕ СВОЙСТВА
Ще разгледаме само тези части от повърхности, които се състоят от правилни точки (виж [4]), а от всички криви върху тях ще се ограничим до гладки.
В диференциалната геометрия (вижте [4]), крива G, свързваща две произволни точки M1 и M2 върху повърхност, обикновено се нарича най-късата крива, ако нейната дължина е най-малката сред всички криви с еднакви краища.
Имайте предвид, че този термин, заимстван от Архимед, се намира във втория том на M.A. Лежандр в своето определение за права линия в равнината. В този случай както на равнината, така и на повърхността разстоянието между точките M1 и M2 се измерва с дължината на най-късата.
Гладка крива върху повърхност се нарича геодезична, ако всяка достатъчно малка дъга е най-късата крива. Очевидно е, че всеки най-кратък път е геодезическа линия, но обратното не е вярно като цяло. Всички криви, които разгледахме върху сферата, цилиндъра и изпъкналите полиедри, са примери за геодезически.
Примерите за тези криви директно потвърждават общите свойства на геодезичните.
Свойство 1. На всяко достатъчно малко парче от повърхността може да се начертае една и само една дъга от геодезическа линия през две точки, точно както на равнината E2 една и само една права линия, която ги свързва, може да се начертае през две точки.
Наистина, знаейки две точки M1 и M2 от сферата S2 и нейния център - точка O, може да се начертае равнина E2, минаваща през тези три точки. Тогава G = S2 0) и отрицателно върху повърхността на отрицателна пълна кривина (K върху повърхности с постоянна отрицателна обща кривина на геометрията на Лобачевски сгеодезици като прави линии. Такава интерпретация от Белтрами на равнината L2 доказва, че няма вътрешни противоречия в геометрията на Лобачевски, защото в противен случай такива противоречия биха имали ефект в обичайната теория на повърхностите.
В геодезията при съставянето на карти геодезическото картиране е важно. При такова картографиране геодезичните линии на една повърхност преминават в геодезичните линии на друга.
Например, разгледайте картографирането на повърхности със запазване на дължината - изометрия. Тъй като геодезичното разстояние между две точки в това картографиране трябва да бъде равно на геодезическото разстояние между изображенията на точките, такова картографиране трябва да трансформира геодезичните линии в геодезични.
Картографирането, извършено чрез огъване на цилиндъра върху равнина, е специален вид изометрия. Когато цилиндърът се огъне в равнината E2, геодезичните линии на цилиндъра се превръщат в сегменти от прави линии на равнината, които играят ролята на геодезически там. Вярно е, че ако си представим цилиндър като неопределено непрекъсната повърхност, тогава неговите спирални криви, правейки безкраен брой завои, ще бъдат нарязани на безкраен брой дъги, всяка от които, когато се огъне, ще стане сегмент от собствената си права линия. Следователно в този случай е обичайно да се говори за локално геодезично картографиране на цилиндър върху равнина (виж фиг. 2).
Да разгледаме пример за локално геодезично картографиране на сферата S2 върху евклидовата равнина E2, която не е изометрична.
Нека сферата S2 лежи в равнината E2 и S 2' е нейната долна отворена полусфера, тоест полусфера без окръжност, която я ограничава. Геодезическите линии на полусферата S 2' все още ще бъдат дъги от окръжности с голям радиус на сферата S2. Тогава за всяка дъга g ? ? S 2', коетое дъга от окръжност с голям радиус на сферата S2, винаги има равнина E 2', така че правата l, която поставяме в съответствие с g, се определя от условието
Тук е важно да се отбележи, че сферата S2 не допуска геодезично преобразуване върху равнината E2.
Както знаем (виж [4]), сферата S2 е пример за повърхност с постоянна пълна кривина. Оказва се, че само повърхности с постоянна пълна кривина, и сред тях сферата, допускат локални геодезични преобразувания върху равнината E2. Това, по-специално, следва от една по-обща теорема, която е доказана през 1868 г. от Е. Белтрами.
Теорема на Белтрами. Единствените повърхности, които позволяват локални геодезични карти върху повърхности с постоянна обща кривина, също са повърхности с постоянна пълна кривина.
Година по-късно У. Дини, изучавайки проблема с динамиката на трансформациите на уравненията на движение на механични системи, които запазват траектории, доказа, че следното е вярно
Теорема на Дини. Две неизометрични повърхности допускат локално геодезично картографиране тогава и само ако разстоянието между техните достатъчно близки точки може да се изчисли по формулите
Ds2 = (f (x) + j(y))(Dx2 + Dy2)
на първата повърхност и
Теорията на геодезичните линии и геодезичните карти е интересна от приложна гледна точка и за съвременните изследвания, тъй като движението на много видове механични системи, както и тела или частици в гравитационни и електромагнитни полета, в непрекъсната среда често се случва по траектории, които могат да се разглеждат като геодезични линии на някои пространства от три или повече измерения, определени от енергийните режими, в които протичат процесите.
На тази база допускат две пространствагеодезично картографиране едно върху друго, описват процесите, протичащи при еквивалентни външни натоварвания по едни и същи „траектории“, но при различни енергийни режими. Следователно единият от тези процеси може да бъде моделиран с помощта на другия. Някои аспекти на това са очертани в вече цитираната статия [5] и монографията [6] на професора от Казанския университет А.З. Петров.
1. Бусеман Г. Геометрия на геодезичните. Москва: Физматгиз, 1962.
2. Steinhaus G. Сто проблеми. Москва: Наука, 1980.
3. В. Клингенберг, Лекции по затворени геодезични. М.: Мир, 1982.
4. Степанов С.Е. За кроенето на дрехи според P.L. Chebysh╦vu // Образователен вестник на Сорос. 1988. ╧ 7. С. 122-127.
5. Аминова А.В. Псевдориманови многообразия с общи геодезични // Усп. науки. 1993. Т. 48, бр. 2. С. 107-164.
6. Петров А.З. Нови методи в общата теория на относителността. Москва: Наука, 1966.
Рецензент на статията Ю.П. Соловьов