Геометрия на сферични многообразия

Основната цел на курса е да се разгледат най-често срещаните примери за сферични многообразия в математиката (като многообразия на знамена и торични многообразия) и да се изучи тяхната геометрия (например да се опише умножение в кохомологичния пръстен). Ще видим, че много от геометричните инварианти на сферичните многообразия са красиво изразени от гледна точка на Нютонов полиедър, който може да бъде свързан с многообразието. Първоначално теорията на полиедрите на Нютон е разработена за торични многообразия, но се оказва, че тя може да бъде пренесена към по-общи многообразия. Това дава единен подход към изследването на геометрията на много, на пръв поглед, много различни многообразия (например когомологичните пръстени на многообразия от пълни флагове и торични многообразия имат много сходни описания по отношение на полиедри).

Програма:

Разновидности на флагове: проективни пространства, Грасманиани, пълни разновидности на флагове. Клетки и цикли на Шуберт. Когомологични пръстени на пълни флагови многообразия: Борелово представяне. Смятане на Шуберт: Формула на Пиери-Шевали, разделени оператори на разлика.
Торични разновидности: комплексни тори, афинни и проективни пространства, увеличения на проективни пространства. Полиноми на Лоран и полиедри на Нютон. Теореми на Кушниренко и Бернщайн-Ховански за броя на общите нули на полиноми на Лоран с дадени полиедри на Нютон. Кохомологични пръстени на гладки проективни торични многообразия: представяне на Пухликов-Ховански.
Сравнение на флагови разновидности и торични многообразия. Полиедърът на Гелфанд-Цетлин като полиедър на Нютон за разновидността на флага. Обобщения на торични многообразия: чудесни компактификации на Де Кончини-Прочези, регулярни компактификации на редуктивни групи. Теоремата на Казарновски-Брайън (обобщение на теорематаКушниренко). Нютонов полиедър на правилната компактификация.