ГРУПОВА АЛГЕБРА

ГРУПОВА АЛГЕБРА на група G над поле K е асоциативна алгебра над поле K, чиито елементи са всички възможни формални крайни суми от вида ∑g∈G αgg, g ∈ G, αg ∈ K, а операциите се определят от формулите:

(от дясната страна на втората формула сумата също е крайна). Тази алгебра се обозначава с KG; елементите на групата G образуват основа на алгебрата KG; умножение на основни елементи в G. a. се предизвиква от групово умножение. Алгебрата KG е изоморфна на алгебрата на функциите, дефинирани в групата G със стойности в полето K и приемащи само краен брой ненулеви стойности; умножението в тази алгебра е навиване на функции.

Същата конструкция може да се разгледа и за случая, когато K е асоциативен пръстен. Така се стига до концепцията за групов пръстен на група G над пръстен K; в случая, когато K е комутативен и с идентичност, се нарича групов пръстен. често също групова алгебра на група над пръстен.

G. a. са въведени от G. Frobenius и I. Schur [1] във връзка с изучаването на групови представяния, тъй като разглеждането на представяния на групата G над полето K е равносилно на изследване на модули над G. a. килограма. Така теоремата на Maschke на езика на груповите алгебри се формулира по следния начин: ако G е крайна група и K е поле, тогава G. a. KG е полупроста тогава и само ако редът на групата G не се дели на характеристиката на полето K.

В началото на 50-те години. 20-ти век имаше изследвания върху G. и. безкрайни групи във връзка с използването на интегрална G. a. в алгебраичния топология, както и използване на методите на теорията на G. a. при изучаване структурата на групата. Това беше улеснено и от редица проблеми, поставени пред G. a., най-известният от тях: съдържа ли G. a. делители на нула? групи без усукване? (проблем на Каплански).

Някои линии на изследване на групови пръстени и алгебри.

Радикалност и полупростота. Груповият пръстен има ненулев нилидеален идеал тогава и само ако или K има ненулев нилпотентен идеал, или редът на някаква крайна нормална подгрупа на G се дели на реда на елемент от адитивната група на пръстена K. Ако K е пръстен без нилидеали и редът на който и да е елемент от G не се дели на реда на който и да е елемент от адитивната група K, тогава KG е без нилидеали. G. a. KG над поле с характеристика 0 е полупросто в смисъла на радикал на Якобсон, ако K съдържа трансцендентален елемент над полето от рационални числа.

Приложение G. a. в тела. G. a. на подредена група е вградима в косо поле (теорема на Малцев-Нойман). Има предположение, че същото важи и за G. a. всяка дясно подредена група.

Връзка на теоретичните свойства на пръстена на груповия пръстен KG със структурата на групата G и пръстена K. Например, KG е прост тогава и само ако пръстенът K е прост и групата G няма крайни нормални подгрупи.

Проблемът с изоморфизма: ако груповите пръстени KG и KH са изоморфни като K-алгебри, тогава каква е връзката между структурата на групите G и H, в частност, когато G и H са изоморфни? Оказа се, че груповият пръстен на периодична разрешима група от клас 2 върху пръстена от цели числа и груповият пръстен на изброима абелева p-група върху пръстен с характеристика p еднозначно дефинират група.

Бяха разгледани различни обобщения на понятието G. a., напр. концепцията за кръстосано произведение на група и пръстен, за което много свойства на G. a.

Лит.: [1] Schur I., „Sitzber. Пройс. акад. Wiss.", 1905, S. 406-32; [2] C. Curtis и I. Reiner, Теория на представянето на крайни групи и асоциативни алгебри, прев. от англ., М., 1969; [3] Passman D. S., Безкрайни групови пръстени, N. Y., 1971; [4] Съвременни проблеми на математиката, том 2,М., 1973, стр. 5-118; [5] А. А. Бовди, Групови пръстени, Ужгород, 1974; виж също lit. Вижте групови изгледи.

Математическа енциклопедия. T. 1 (A - D). Изд. колегия: И. М. Виноградов (главен редактор) [и др.] - М., "Съветска енциклопедия", 1977, 1152 stb. от болен.