Хипергеометрична функция

Хипергеометричната функция(функция на Гаус) е дефинирана вътре в окръжността z 1 на хипергеометричната серия

F ( a , b ; c ; z ) = 1 + ∑ k = 1 ∞ [ ∏ l = 0 k − 1 ( a + l ) ( b + l ) ( 1 + l ) ( c + l ) ] z k = 1 + a b c z 1 ! + a ( a + 1 ) b ( b + 1 ) c ( c + 1 ) z 2 2 ! + … , ^\left[\prod _^\right]z^=1+>>+>>>+\dots ,>

и при 1>"> z > 1 1> 1"> — като негово аналитично продължение. Това е решение на линейно обикновено диференциално уравнение от втори ред (ODE), наречено хипергеометрично уравнение.

Съдържание

Терминът "хипергеометрична серия" е използван за първи път от Джон Уолис през 1655 г. в книгатаArithmetica Infinitorum. Този термин се отнасяше за серия, общата формула на чиито членове има формата [1]

Хипергеометричните редове са изследвани от Леонхард Ойлер и по-подробно от Гаус [2] . През 19 век изследването е продължено от Ернст Кумер, а Бернхард Риман дефинира хипергеометричната функция по отношение на уравнението, на което тя отговаря.

Когато параметърът c не е равен на нула и отрицателни цели числа ( c ≠ 0 , − 1 , − 2 , … ), решението на уравнението на Ойлер, редовно при нула, може да бъде записано в термините на редица, наречена хипергеометрична:

Тази функция се нарича хипергеометрична. Често използвано обозначение (символ Pochhammer)

където Γ е гама функцията. Тогава хипергеометричната функция може да бъде представена като

Интегрално представяне на хипергеометричната функция при 0>"> c − a − b > 0 0> 0" data-> може да се напише така:

Втората теорема за сумиране на Гаус се изразява с формулата:

Теоремата на Бейли се изразява с формулата:

Важно свойство на хипергеометричната функция е, че много специални иелементарни функции могат да бъдат получени от него с определени стойности на параметрите и трансформация на независимия аргумент.

---