Идеал (алгебра), математика, FANDOM powered by Wikia

Идеале специален вид подобект в някаква алгебрична структура. Концепцията за идеал възниква първоначално в теорията на пръстените. Името "идеал" идва от "идеални числа" (делители).

Дефиниции Редактиране

За алгебра или пръстен $A$, идеал е подалгебра или подпръстен, който е затворен при умножение с елементи от $A$. Освен това идеалът се наричаляв(съответнодесен), ако е затворен при ляво (съответно дясно) умножение по елементи от $ A $ . Идеал, който е едновременно ляв и десен, се наричадвустранен. В комутативния случай всички тези три понятия съвпадат.

По-точно: Идеал на пръстенAе подмножествоIна пръстенA, така че

  1. за всякакви елементиiиjотI, тяхната сумаi+jсъщо лежи вI;
  2. за всеки елементiотIпротивоположният му елемент-iсъщо лежи вI;
  3. (условие върху десни идеали) за всеки елементiотIи всеки елементaотA, продуктътiaсъщо лежи вI;
  4. (условие върху левите идеали) за всеки елементiотIи всеки елементaотA, продуктътaiсъщо лежи вI.

Редактиране на свойства

  • Двустранните идеали в пръстените и алгебрите играят същата роля като нормалните подгрупи в групите:
  • За всеки хомоморфизъм $ f:A\to B $ ядрото $ \operatornamef $ е идеал и обратно, всеки идеал е ядрото на някакъв хомоморфизъм.
  • Нещо повече, един идеал еднозначно (с точност до изоморфизма) определя образа на хомоморфизма, чието ядро ​​е: $ f(A) $ е изоморфен на частния пръстен(факторна алгебра) $ A/I $ .

За всяко подмножество на $ X\in A $ може да се дефинира идеалът $ I_X $, генериран от $ X $ като пресечната точка на всички идеали, съдържащи множеството $ X $. В този случай множеството $ X $ се наричабазана идеала $ I_X $ . Различни основи могат да генерират един и същ идеал. Идеалът, генериран от един елемент, се наричаглавен.

  • Пресечната точка на леви (двустранни) идеали отново ще бъде ляв (двустранен) идеал.
  • За пръстени и алгебри не е необходимо теоретико-множественото обединение на идеали да бъде идеал.

Нека $ I, J $ са леви или двустранни идеали в пръстена (или алгебрата) $ A $ . Сумата от идеалите $I$ и $J$ е минималният идеал в $A$, който съдържа $I$ и $J$. По отношение на сумата всички (леви или двустранни) идеали на пръстен (или алгебра) образуват решетка.

  • За $ k $ -алгебра $ A $ (алгебра над поле $ k $ ) идеалът на пръстена $ A $ може като цяло да не е идеал на алгебрата $ A $ .

Например, ако $A$ е $k$ -алгебра с нулево умножение, тогава множеството от всички идеали на пръстена $A$ съвпада с множеството от всички подгрупи на адитивната група $A$ , а множеството от всички идеали на алгебрата $A$ съвпада с множеството от всички подпространства на векторното $k$ -пространство $A$ . Въпреки това, в случай, че $ A $ е алгебра с единица, двете тези понятия съвпадат.

Свързани понятия Редактиране

Много класове пръстени и алгебри се определят от условия на тяхната идеална или идеална решетка. Например:

  • Пръстен, който няма нетривиални двустранни идеали, се наричапрост.
  • Пръстен без собствени едностранни идеали е тяло. Вижте също: главен идеален пръстен, Артинов пръстен, Ньотеров пръстен.

с някогокомутативният пръстен с идентичност е свързан с топологичното пространство $ Spec A $, чиито точки са всички прости идеали на пръстена $ A $, различни от $ A $, а идеалите на пръстена $ A $ определят затворени подмножества на пространството $ Spec A $.

Концепцията за идеал е тясно свързана с концепцията за модул. Идеал (десен или ляв) може да се дефинира като подмодул на пръстен, разглеждан като десен или ляв модул над себе си.