Изброими множества
Еквивалентни комплекти
1.Установете взаимно еднозначно съответствие между множеството от всички естествени числа и множеството от естествени числа, кратни на 5.
2.Задайте биекцията на полукръга и неговия диаметър.
 |
 |
Нека тогава
.
5.Намерете преобразуване едно към едно на интервала върху цялата реална права (геометрично и аналитично).
Нека тогава.
6.(Хотелът на Гилбърт). Някъде в космоса има хотел с безкрайно много единични стаи, всичките заети. В хотела дойде мъж и поиска да го настанят в отделна стая. Администраторът успя да удовлетвори искането му, без да изгони нито един гост. Как успя да направи това?
Номерираме стаите с номера 1, 2, 3, ..., n, ... Преместваме госта от 1-ва стая във 2-ра, от 2-ра в 3-та, ..., от n-та в (n + 1)-та и т.н. Така ще освободим 1-ва стая, в която ще настаним нов гост.
7.Намерете съпоставяне едно към едно на сегментвърху полусегмент.
 |
Тъй като на първия интервал има, така да се каже, още една "повече" точка, тогава трябва да премахнете "допълнителната" точка някъде.
Нека вземем произволна последователност на всеки от интервалите и направим същото като с хотела Гилбърт: присвояваме точка x1 от множеството на точка x2 от множеството, на точка x2 от A -
точка x3 от B, ..., точка xn от A - точка xn+1 от B и т.н. ТакаТака в B ще се освободи точка x1, която ще поставим в съответствие с точка b от множество A. Останалите точки в множествата A и B са еднакви, следователно ще ги поставим в съответствие една с друга.
Така получаваме едно-към-едно съответствие между A и B.
8.Докажете, че всички крайни интервали на реалната права са еквивалентни.
Както вече беше показано в № 4, всички интервали с едно и също име (т.е. всички сегменти, всички интервали и т.н.) са еквивалентни един на друг, а в предишния пример показахме, че интервали с различни имена също са еквивалентни, което трябваше да се докаже.
9.Докажете, че всеки интервал от числовата ос е еквивалентен на цялата числова ос.
10.Има ли непрекъсната функция, която преобразува сегмент едно към еднона цялата числова линия?
Не, защото ако една функция е непрекъсната на сегмент, тогава наборът от нейните стойности също е сегмент.
Домашни примери
11.Намерете съпоставяне едно към едно на сегментана интервала .
показване в(подобно на задача 7, само "скрийте" две точки в последователността).
12.Намерете преобразуване едно към едно на полуотсечка върху лъч.
С помощта на функцията y = tgx.
13.Има ли непрекъсната функция, която преобразува сегмент едно към еднона интервала?
14.Има ли непрекъсната функция, която преобразува сегмент едно към еднона множество, състоящо се от два сегмента?
В 13 и 14 отговорът е „не“ (виж задача 10).
15.Задайте едно-към-едно съответствие между кръг и линия.
 |
Точка O съответства на точка в безкрайност на числовата ос.
Изброими набори.Continuum Power
1.Каква е мощността на множеството?
Това множество е обединението на две последователности. Тъй като последователността е изброимо множество, множеството A също е изброимо.
2.Каква е мощността на набора от точки на равнината, за които и двете координати са рационални?.
Множеството от точки на равнината с рационални координати може да бъде представено като . По този начин, това е множество, чиито елементи се отличават с два знака, които обхващат изброимо множество от стойности; следователно, по лема 2.1, това множество е изброимо.
3.Каква е мощността на множеството от всички триъгълници в равнината, чиито върхове имат рационални координати?
Това множество е изброимо (вижте задача 2).
4.Докажете, че множеството от всички окръжности на равнината, чиито радиуси са рационални и чиито централни координати са рационални числа, е изброимо.
5.Докажете, че ако разстоянието между които и да е две точки от множеството E на права е по-голямо от 1, тогава множеството E е най-много изброимо.
Ограждаме всяка точка от множеството с квартал с дължина 1, тогава тези квартали няма да се пресичат. Във всеки квартал избираме рационално число. Получаваме някакво множество A от рационални числа, което е във взаимно еднозначно съответствие с множеството E. Тъй като множеството A е част от множеството Q, то е не повече от изброимо, следователно множеството E също е не повече от изброимо.
6.Докажете еквивалентността на сегментаи интервала, като използвате теореми за свойствата на безкрайните множества.
Тъй като множеството също е неизброимо, съгласно теорема 3.2е еквивалентно.
7.На линия е даден набор от по двойки непресичащи се отсечки. Какво може да се каже за силата на този комплект?
Този комплект не е такъве повече от изброимо (вижте задача 5).
8.Докажете, че наборът от точки на прекъсване на монотонна функция, дефинирана върху цялата реална линия, е краен или изброим.
Нека присвоим на всяка точка на прекъсване, например x1, сегмент, характеризиращ големината на скока в тази точка. Очевидно за монотонна функция това съответствие ще бъде едно към едно и тези сегменти не се пресичат. Тогава, съгласно задача 7, тяхното множество е най-много изброимо; следователно множеството от точки на прекъсване също е най-много изброимо.
| следваща лекция ==> | ||
| Съгласни и съгласни, срички | Монтажни блокове и полипасти, траверси, шарнирни приспособления, устройства за окачване на съдове и апарати |