Изоморфизъм на пръстена, ръчна математика
Любителска математика - направи си сам
Нека разгледаме събирането и две умножения:
Уверете се, че " title="\left " class="latex" /> и " title="\left " class="latex" /> са пръстени с единица. Намерете делителите на нулата в първия пръстен и докажете, че вторият е изоморфен на " title="\left " class="latex" />. Тези два пръстена изоморфни ли са? Обобщете.
Нека , тогава е очевидно, че аксиомите за комутативност и асоциативност на събирането и съществуването на нула и противоположния елемент, както и комутативността на двете умножения и са изпълнени. Асоциативността на продуктите се проверява директно:
същото важи и за дистрибутивността (достатъчно е да проверите само правилната, тъй като вече доказахме, че умножението е комутативно):
Единицата и в двата случая, както е лесно да се види, ще бъдат елементите.
Така че " title="\left " class="latex" /> и " title="\left " class="latex" /> са пръстени с единица. Намерете делителите на нулата в " title="\left " class="latex" />:
Лесно е да се види, че решенията на тази система ще бъдат например елементите и , най-общо казано, различни от нула.
Какво е изоморфизъм на пръстена?
Хомоморфизмът на пръстена е такова преобразуване, че
и чрез изоморфизъм, биективен хомоморфизъм. Ако изрично напишем формулите за комплексно умножение в координатна нотация, тогава става съвсем ясно, че преобразуването е изоморфизъм между " title="\left " class="latex" /> и " title="\left " class="latex" />. Обобщението, което се изисква в условието на проблема, ще бъде следното. Нека е пръстен без делители на нула, изоморфен на пръстена , тогава нека има изоморфизъм между тях и , и следователно
откъдето получаваме, че или , или , тоест или , или , тъй като при хомоморфизъм нулата на пръстена отива внула, а произведението е нула тогава и само ако поне един от факторите е равен на нула. По този начин, ако два пръстена са изоморфни, тогава те или имат делители на нула по едно и също време, или нямат. Няма делители на нула (тъй като това е поле като цяло - можете лесно да разделите на ненулеви елементи там), така че няма делители на нула в " title="\left " class="latex" />, което от своя страна не може да бъде изоморфно на " title="\left " class="latex" />, тъй като има делители на нула, както е показано по-горе.