Класификация на кривите от втори ред
Крива от втори ред се наричанеизродена, ако могат да възникнат следните опции:
- Неизродена крива от втори ред се нарича централна ако
- елипса - предоставенаD> 0 и ΔI2 = 4Dилиa11 =a22,a12 = 0;
Диаметри и център на крива от втори ред
Диаметърътна крива от втори ред е геометричното място на средните точки на успоредните хорди на тази крива. Диаметърът, получен по този начин, се наричаконюгаткъм тези хорди или тяхната посока. Диаметърът, свързан с хордите, образуващи ъгъл θ с положителната посока на остаOx, се определя от уравнението:
Ако условието е изпълнено, тогава всички диаметри на кривата се пресичат в една точка -център, а самата крива се наричацентрална. В противен случай (D= 0), всички диаметри на кривите са или успоредни, или еднакви.
Координатите на центъра се определят от системата от уравнения:
Решавайки тази система заx0 иy0, получаваме:
Ако кривата е централна, тогава преместването на началото към нейния център води уравнението до формата
къде са координатите спрямо новата система.
Главни оси и върхове на крива от втори ред
Главната осна крива от втори ред е нейният диаметър, перпендикулярен на спрегнатите към тях хорди. Този диаметър е оста на симетрия на кривата. Всяка централна крива или има две взаимно перпендикулярни оси, или всички диаметри са главни оси. В последния случай кривата екръг. Нецентралните криви имат само една главна ос. Пресечните точки на главната ос със самата крива се наричат нейнивърхове.
Насочващите косинуси на нормалите към главните оси удовлетворяват уравненията
където λ е ненулев корен на характеристичното уравнение. Посоките на главните оси и техните спрегнати хорди се наричат главни посокина кривата. Ъгълът между положителната посока на остаOxи всяка от двете главни посоки се дава от
От всички видове криви от втори ред само окръжността има неопределени главни посоки.
Общо уравнение в матрична форма
Общото уравнение на кривата може да бъде написано в матрична форма
Чрез въвеждане на нова координатна система може да се приведат уравненията на кривите от втори ред до стандартната канонична форма (виж таблицата). Параметрите на каноничните уравнения са много просто изразени чрез инварианти и корени на характеристичното уравнение (вижте раздела „Характерна квадратна форма и характеристично уравнение“ по-горе).
| Изглед на крива | Канонично уравнение | Инварианти |
| Неизродени криви ( ) | ||
| Елипса | ||
| Хипербола | ||
| Парабола | ||
| Изродени криви (Δ = 0) | ||
| Точка | ||
| Две пресичащи се линии | ||
| Две успоредни прави | ||
| една права линия | x2 = 0 |
За централната крива в каноничната форма нейният център е в началото.
Каноничното уравнение на всяка неизродена крива от втори ред зас помощта на подходяща трансформация на произхода може да се сведе до формата
В този случай кривата минава през началото на новата координатна система, а остаOxе оста на симетрия на кривата. Това уравнение изразява факта, ченеизродена крива от втори ред е геометричното място на точките, чието съотношение на разстояние(ексцентричност)от дадена точка(фокус)и от дадена права линия(директриса)постоянно. В допълнение, за , кривата е кръг, за , елипса, за , парабола и за , хипербола.
Уравнението на директрисата на кривата се изразява чрез уравнението и фокалните координати. Директрисата е перпендикулярна на оста на симетрия, минаваща през фокуса и върха на кривата (фокална ос). Разстоянието между фокуса и директрисата е
Ако кривата от втори ред е централна (елипса или хипербола), тогава правата линия
е оста на симетрия и следователно кривата има два фокуса и две директриси.
Параметърътpсе наричафокален параметъри е равен на половината от дължината на хордата, минаваща през фокуса и перпендикулярна на фокалната ос (фокална хорда).
Ако вземем фокуса на неизродена крива от втори ред като полюс на полярната координатна система и нейната ос на симетрия като полярна ос, тогава в полярните координати ρ, φ уравнението на кривата ще има формата