Книга „Мащабната структура на пространство-времето“.
Е Л
Следователно дължината на кривата g по отношение на параметъра u е крайна тогава и само ако aa е крайна по отношение на параметъра u'. Ако d е геодезична крива, тогава u е афинен параметър на ),; красотата на това определение се крие във факта, че u може да бъде дадено на всеки Skrivai. Ще кажем, че пространство-времето (m, n) е L-пълен T-пряк път за bnrrge-compre1e, виж Equ. 8.3) ако всяка C' крива с крайна дължина, измерена чрез обобщен афинен параметър, има крайна точка. Ако тази дължина е крайна за един обобщен афинен параметър, тогава тя ще бъде крайна за всички такива параметри, така че не губим нищо, ако се ограничим до ортонормални бази. Когато метриката i е положително определена, обобщеният афинен параметър, дефиниран от ортонормалната основа, е дължината на дъгата и следователно b-пълнотата съвпада с u-пълнотата. Концепцията за L-пълнота обаче може да бъде въведена дори ако метриката не е положително определена; всъщност, за да го дефинираме, е достатъчно да имаме връзка на Le. Ясно е, че b-пълнотата предполага g-пълнота, но горният пример показва, че обратното не е вярно.
По този начин ще наречем пространство-време свободно от сингулярности, ако е L-пълно. Това определение е в съответствие с възгледа по-горе, че времеподобната и изотропна геодезична пълнота е минималното условие за пространство-времето да се счита за свободно от сингулярности. Човек може да пожелае леко да отслаби това условие и да нарече пространство-време, свободно от сингулярности, само ако е не-пространствено-подобно L-пълно, т.е. ако всички не-пространствено-подобни C'-криви с крайна дължина, измерени чрез обобщен афинен параметър, имат крайна точка.Въпреки това, тази дефиниция би изглеждала доста тромава, ако L-пълнотата се формулира по отношение на разслоени пространства; ще дадем такава формулировка в равд. 8.3. Всъщност във всяка от теоремите, които доказваме в Ravd. 8.2, пространство-времето (xY, q) се приема като времеподобно или изотропно и непълно и следователно съдържа сингулярност и от двете горни определения.
Интуитивно се усеща, че безкрайно голяма кривина близо до сингулярната точка трябва да бъде свързана със сингулярността. Но ние изключихме сингулярни точки от нашата дефинирана пространствена връзка
eni, и следователно има трудност с темите, какво е "близо" и какво е "безкрайно голямо". Можем да кажем, че точките на L-непълна крива са близо до сингулярност, ако съответстват на стойности на обобщен афинен параметър, които са близки до горната граница на този параметър. По-трудно е да се даде точно значение на "неограничено голяма кривина",
Гя. V. Svnguyaaarnpstp на пространство-времето
тъй като числените стойности на компонентите на тензора на кривината зависят от базата, в която се измерват. Един подход е да се разгледат скаларни полиноми в kn, m) прах и а. Казваме, че L-непълна крива съответства на особеност на скаларни полиноми на кривина, ако някой от тези скаларни полиноми е неограничен върху дадената непълна крива. Въпреки това, когато метриката е Лоренциан, тези полиноми не дефинират напълно тензора на кривината: Пенроуз отбеляза, че за решения с равнинна вълна всички скаларни полиноми са нула, докато тензорът на Риман е различен от нула (точно както ненулев вектор може да има нулева дължина). По този начин, кривината може да бъде много голяма в определен смисъл, дори ако скаларните полиноми са малки. От друга страна, могат да се измерват компонентитетензор на кривина в основата, пренесен успоредно по кривата. Ще кажем, че L-непълна крива съответства на сингулярност на кривина в паралелно пренесен базис, ако някоя от компонентите на тензора на кривата на тази крива не е ограничена. Ясно е, че съществуването на сингулярни скаларни полиноми също означава съществуване на сингулярност в паралелно пренесен базис.
Може да се надяваме, че във физически реалистични решения L-непълнотата на кривата съответства и на двата вида особености на кривина. Пространството Taub-NUT (раздел 5.8) обаче е пример за решение, при което очевидно тази надежда не е оправдана. В това пространство непълните геодезични се съдържат изцяло в някаква компактна околност на хоризонта. Метриката в този компактен квартал е напълно регулярна и следователно скаларните суми на тензора на кривината са крайни. Поради особения характер на това решение, компонентите на тензора на кривината в основата, пренесени успоредно по вградената геодезическа, остават ограничени. Тъй като затворената геодезическа се съдържа в компактно множество, многообразието xm не може да бъде разширено до толкова голямо четириизмерно паракомпактно многообразие на Хаусдорф n', че непълните геодезични да могат да бъдат разширени. Следователно тази непълнота не е възникнала от премахването на особени точки. Обаче движението по една от тези непълни геодезии, подобни на времето, би доставило малко удоволствие на наблюдателя: въпреки че неговата световна линия няма край, тя кръжи около вътре в компактен набор и наблюдателят никога няма да надхвърли определена точка от живота си. Poetoht> изглежда разумно да се разглежда този вид пространствено-времева сингулярност, въпреки че в нея няма сингулярност на полиномите на скаларната кривина или сингулярносткривина в паралелно пренесена основа. Съгласно лема 6.4.8, не-