Контрактираща последователност - примат

Последователност на свиване

Нека наречем поредица от сегменти, където се свиват, ако са изпълнени следните условия:

Всеки следващ сегмент принадлежи на предишния, тоест: Това означава, че:

Дължината на сегмента клони към нула, т.е.

Литература:

Сподели връзка:

Теорема за вложени сегменти на Коши-Кантор

Формулировка

Нека е дадена система от вложени сегменти, тогава , т.е. Освен това, ако $latex \forall \ \varepsilon > 0 \ \съществува \ n_\in \mathbb \ \forall n > n_ :(b_-a_) m \Rightarrow a_\leq b_\leq . \leq b_\leq b_ " />

Уникалност:

Да предположим обратното, нека има две отделни точки, принадлежащи на всички сегменти на редицата, т.е.:

. Така че, например, тогава или ' " title="c>' "/>.

Без загуба на общоприетост приемаме, че .

Тогава имаме: . Това е . защото .

Противоречие! Следователно нашето предположение, че има две различни точки, принадлежащи към всички сегменти на последователността, е неправилно, което означава

Отсечките във формулировката на теоремата не могат да бъдат заменени с отворени интервали.

Наистина, лесно е да се види, че последователността от вложени интервали няма общи точки, тъй като

Докажете, че ако система от вложени сегменти и $latex \forall \ \varepsilon > 0 \ \съществува \ n_\in \mathbb \ \forall n > n_ :(b_-a_)

Изхождайки от доказателството на теоремата на Коши-Кантор, а именно от факта, че , следователно, по дефиниция на точната горна и долна граница. Извадете от неравенството и по теоремата за трите последователностиполучаваме: , следователно, по теоремата за конвергентната последователност, имаме . Доказателството за последователността е подобно.

Доказано е, че и двете редица са сходни и е в сила следното равенство: .

Докажете, че теоремата за вложените интервали на Коши-Кантор не е валидна за множеството .