Лекции по алгебра § 8
§ 8. Крайни абелеви групи
1. Разлагане на крайна абелева група в пряк сбор от първични абелеви групи. В този и следващия раздел представяме теорията на крайно генерираните абелеви групи, освен това,
ЕЛЕМЕНТИ НА ТЕОРИЯ НА ГРУПИТЕ
Ще използваме адитивна нотация и съответната терминология. Действието в групата ще наричаме събиране и ще означаваме със знака +, неутралния елемент ще наричаме нулата на групата и ще означаваме с 0, вместо обратен елемент ще говорим за противоположния, вместо за степени - за кратни, вместо термина пряко произведение ще казваме пряка сума, а за означаване на пряка сума ще използваме знака Ф.
Нека G е крайна абелева група и a е неин елемент. Естествено число m, такова че ma = 0, се нарича анихилатор на елемента a. Сред анихилаторите има минимум, а именно редът на елемента a.
Твърдение 1. Всички анихилатори на елемента a d се делят на неговия ред.
Наистина, нека m е редът на елемента a и нека mx е някакъв друг анихилатор. Тогава mi = mq + r, O^rs^m - I и m = = ixa - qma = 0 и, следователно, r = 0, поради минималността на анихилатора m.
Анихилатор на група е естествено число, когато се умножи по него, всички елементи на групата се унищожават. Редът на една група е един от нейните анихилатори. Сред анихилаторите на групата има минимален и всички анихилатори се делят на него.
Предложение 2. Нека m е анихилаторът на групата Gum = mxm2, където m1 и m2 са взаимно прости. Тогава G се разлага на директен сбор от две подгрупи, едната от които се анихилира от rn\, другата от m2.
Доказателство. Нека Gj е множеството от всички елементи на групата G, които са анихилирани от m\, а G2 е същото за m2. Ясно е, че Gi и G2 са подгрупи на G. С оглед на взаимнотоот простота mi и m2, съществуват цели u и u2 такива, че mi«i + m2u2 = 1. Нека a e G. Тогава a = mxi\a -\- m2u2a. Първият член mx\a принадлежи на G2, тъй като m2m\U\a = 0. Съответно вторият член принадлежи на G]. Така G = Gi + G2. За да се уверим, че сборът е директен, остава да установим, че Gi П G2 = 0. Нека a є Gi П G2. От равенството a = txha + m2u2a заключаваме, че a = 0, тъй като и двата члена от дясната страна са равни на нула.
Забележете, че от самата конструкция на групите G] и G2 следва, че те са еднозначно определени.
Твърдение 3. Нека анихилаторът m на група G се разложи на произведение m = mxm2 . и по двойки взаимнопрости множители. Тогава G се разлага на пряка сума от подгрупи с анихилатори mi, m2, m*.
Следва директно от твърдение 2.
Крайна абелева група се нарича първична, ако нейният анихилатор е степен на просто число.
Теорема 4. Крайна абелева група се разлага на пряк сбор от първични подгрупи.
крайни абелеви групи
Следва от твърдение 3, приложено към каноничното разлагане на анихилатора:
2. Подгрупи на циклична група.
Твърдение 5. Всички подгрупи на крайна циклична група от ред m са циклични и техните генератори са елементи от вида ad, където a е генератор на тази група, а d е делител на m.
Доказателство. Нека G е циклична група от ред m с генератор a и H е нейната подгрупа. Нека d е най-малкото естествено число, така че da = R. Тогава m се дели на d; -1, тогава r\a = ka - qxda ^ H и r\ = 0. Така da е генератор на групата H. Редът на H е равен на m/d. За всяко d, разделящо m, елементът da генерираподгрупа I от ред m/d.
По-специално, ако m = pa, тогава всички подгрупи на G образуват верига G ZD G] ZD G2ZD . e Ga-i =) 0, където Gi е подгрупата, генерирана от p'a.
3. Разлагане на приближена абелева група в пряк сбор от първични циклични групи.
Твърдение 6. Нека H е подгрупа на абелева група G и от косетите на G по отношение на H може да се извлече по един представител всеки, така че те да образуват група F (очевидно изоморфна на факторгрупата G/H). Тогава G = I F F.
Доказателство. H-\-F = G, тъй като H-f-F съдържа всички елементи от всички класове съвместни класове. H P F = 0, защото при естествения хомоморфизъм на G върху G/H всички елементи на H f] F се преобразуват в нулевия клас на факторгрупата и елементът от групата F, принадлежащ на нулевия клас, може да бъде само 0. Следователно, съгласно теорема 2 от § 3, G = HQF.
Теорема 7. Първична крайна група G може да се разложи на директен сбор от първични циклични групи.
Доказателството се извършва чрез индукция по реда на групата. Основа на индукцията са групите от прост ред, тъй като те са циклични.
Нека pa' е минималният анихилатор на групата G. Тогава има елемент Oi є G, чийто ред е равен на pa'. Нека λ е цикличната подгрупа, генерирана от елемента ax. Ако Hx съвпада с G, тогава въпросът е решен, самото G е циклично. Нека H1 не съвпада с G. Да разгледаме факторгрупата G/H1. Тя е първична, нейният минимален анихилатор е равен на p$ за ^ ax и неговият ред е по-малък от реда на G. По индукционната хипотеза той е пряк сбор от цикличните групи H2, . Hk с генератори o2, ak. Ще се опитаме да изберем от класовете coset такива представители Предишни 109 110 111 112 113 114 .. 168 >> Следващ