Лесно програмиране - Матрично смятане за манекени
Матричното смятане (или матричната алгебра) е дял от математиката, който изучава матриците. Матриците присъстват в много изчислителни задачи, например решаване на системи от линейни уравнения (когато има много от тях), в задачи за оптимизация и т.н. Ето защо е много важно да познавате и разбирате този клон на математиката. И така, първо ще се запознаем със самата концепция за матрица.
Матрицата е просто таблица с числа. Това е просто обикновена маса. Тя има редове и колони. Но има и научно определение на матрицата, вие също трябва да го знаете. и звучи така: „Нека е дадено някакво числово поле K. След това правоъгълна таблица с числа от полето K:
ще наречемматрица".
Тук се използва още едно, може би непознато понятие - числово поле. Нека го дефинираме. И така,числово полее всяка колекция от числа, в която четири операции са възможни и недвусмислени: събиране, изваждане, умножение и деление с число, различно от нула. По този начин всички нормални числа принадлежат към числовото поле, между другото и номерата на колелата (вижте също циклите на уроците Комплексни числа за манекени и Комплексни числа за манекени (платен раздел)). Но ако някой измисли някакви "екзотични" числа, за които поне една от четирите математически операции, изброени по-горе, не е еднозначно осъществима, тогава вече няма да е възможно да се каже, че тези числа принадлежат към числовото поле.
С прости думи, матрицата се счита само за таблица с числа, както и всички други математически обекти, които могат нормално да се добавят, изваждат, умножават и делят. Но ако поставите нещо в таблица, което не може, например, да се добави, тогава това вече няма да бъде матрица.Факт е, че можете също да извършвате някои математически операции върху матрици, които се свеждат до операции върху числата, включени в матрицата. И ако в матрицата има не числа, а кой знае какво, например струни или някакви екзотични обекти, тогава вече няма да можем да извършваме онези математически операции върху такава таблица, които можем да правим върху матрицата.
Така че, нека обсъдим отново какво може да бъде вътре в матрицата и какво не. Може да има комплексни числа (тъй като могат да се събират, изваждат и делят). Може да има функции и математически изрази, ако резултатът от тяхното изчисляване е число (или комплексно число). Наистина, ако имаме определена функция и има определена функция, резултатът от изчислението на която е "нормално" число, тогава кой ни маха да извършим операцията или, например,?
Числата n и m са размерите на матрицата, ако те са еднакви, тогава такава матрица се наричаквадратна. В този случай числото n, равно на m, се нарича ред на матрицата. Като цяло, когато m и n не са равни, матрицата се наричаправоъгълна. Числата, включени в матрицата, се наричат елементиматрица.
Помислете как се обозначава матрицата. В самото начало на урока показах общата нотация на матрицата. Има и опростен: където i=1,2,3. m, j=1,2,3. н. При обозначаване на матрични елементи с два индекса, първият индекс винаги показва номера на реда, а вторият - номера на колоната.
Матрицата също се обозначава с една буква, например A. Ако A е квадратна матрица от ред n, тогава можем да напишем
Квадратната матрица може да има детерминанта. Детерминантата на матрицата се означава с или. Ще стигнем до детерминантите, сега само накратко ще кажа какви са те. И така,детерминантата (или детерминантата)е полином, който комбинира елементи от квадратматрица по такъв начин, че нейната стойност да се запази чрез транспониране и линейни комбинации от редове или колони. Транспонирането означава "обръщане" на матрица - редовете стават колони, а колоните - редове.
Има и специални видове матрици, които могат да имат отделни обозначения. По-специално, правоъгълна матрица от формата:
или, с други думи, матрица, състояща се от една колона, обикновено се обозначава по този начин. Такава матрица се наричаколона. Една матрица може също да бъдемалка буква:
Маркира се така:
Ако всички елементи на квадратна матрица, с изключение на главния диагонал, са равни на нула:
Тогава такава матрица се наричадиагонал. Маркира се така:
Символът е така нареченият символ на Кронекер:
Друга нотация за диагонална матрица:
Има и означения за отделните редове и колони на матрицата. Да кажем, че имаме матрица. Тогава i-тият ред ще бъде означен като:
И j-тата колона ще бъде означена като:
Помислете също за такава концепция като линейна трансформация. Нека имаме система от линейни уравнения от вида:
Или, ако го напишем накратко:
Трансформацията на всички x-стойности в y-стойности с помощта на тези формули се наричалинейна трансформация. Коефициентите на тази линейна трансформация образуват матрица