Максимален принцип
Работни страници
Съдържанието на произведението
В редица практически задачи за оптимизиране на обекти за управление, екстремумът на функционала (3.91) за дадени уравнения на завода (3.92) се осигурява за управлениеu(t), имащо прекъсвания от първи род. В този случай координатите също имат прекъсвания, чието положение и брой не са известни предварително. Тези обстоятелства затрудняват прилагането на класическото вариационно смятане за някои оптимизационни задачи, които могат да бъдат решени по метода, разработен от акад. Л. С. Понтрягин и посоченият принцип, максимумът.
Оптимизационният проблем е да се определят оптималните контролиu°(t) и траекториятаХ°(t) от условието на минимума на функционала (3.91) за дадените уравнения на инсталацията (3.92) с началниX(t0) и крайниX(tk) стойности, даден момент интервалt0 £t£tk, като се вземат предвид ограничения от видаX(t) н Wx,u(t) н Wu.
Управляващите функцииu(t) допускат прекъсвания от първи род (виж крива1на фиг. 3.6). Тъй като изходните координатиxi(t) не са гладки, каноничните уравнения (3.78) и (3.80) с въведените множители на Лагранж (3.76) и функциите на Хамилтон (3.77) не могат да бъдат директно приложени за определяне на оптималните контроли. Това се обяснява с факта, че поради прекъсвания от първи вид, вариацията на функциятаu(t) може да бъде голяма, следователно, вариацията на функционала също ще бъде голяма. В резултат на това в израза (3.56) вече не е възможно да се ограничим само до членове, линейни по отношение на вариациите на функциитеdu(t) иdx(t), но също така трябва да вземем предвиднелинейни членове. В тази връзка беше въведена концепцията за вариация на иглата [12].
Вариацията на иглата е нарастване на променливата оптимална контролна функцияu°(t) на безкрайно малък интервал от времеeпод формата на импулс с ограничена величина (вижте крива4на фиг. 3.6), като се вземе предвидu(t) n Wu. Влиянието на такова изменение върху последващото движение на контролния обект в интервалаtT,
тогава вместо функцията на Хамилтън (3.77), приета в класическото вариационно смятане, можем да съставим функцията на Хамилтън за некласически вариационни проблеми:
. (3,121)
Тази функция достига своя максимум при оптимално управлениеu°(t), откъдето следва принципът на максимума: трябва да изберетеu(t) Î Wu, така че стойносттаН *да достигне максималната стойност. В този случай може да се напише (за отворено множество Wu)
Използвайки израза (3.121) и уравненията на обекта на управление (3.113), като вземем предвид (3.116), можем да съставим, подобно на уравненията (3.81), каноничните уравнения на Хамилтън за некласическите вариационни задачи:
, (3,123)
Уравнения (3.123) заrконтролни координати се допълват от уравненията
. (3,124)
Нека има допустимо управлениеu(t) н Wu, тогава съответстващата му фазова траектория преминава през фиксирани началнаX(t0) и крайнаX(Т) точки. Тогаваu°(t) се определя от теоремата на Л. С. Понтрягин [12]:
за да бъде управлениетоu(t) оптимално, е необходимо да има такава ненулева векторна функция y(t), съответстваща, по силата на уравнения (3.123), на функциитеu(t) иX(t), така че:
; (3,125)
2) до финалавремева точкаt=Tотношенията ще бъдат изпълнени
. (3,126)
В повечето случаи в (3.126) можем да приемем y0(Т) = – 1.