Математическа бройна система
В бъдеще трябва значително да разширим концепцията за числото, първоначално свързана с естествените серии, за да конструираме мощен инструмент, който може да задоволи нуждите както на практиката, така и на теорията. Исторически - в процеса на дълга и несигурна еволюция - нулата, отрицателните цели числа и рационалните дроби постепенно придобиха същите права като числата от естествената серия, а днес средното дете в училищна възраст перфектно овладява правилата за действие с всички тези числа. Но за да се осигури пълна свобода в алгебричните операции, е необходимо да се отиде по-далеч и да се обхване разширената концепция също за ирационални и комплексни числа. Въпреки че тези обобщения на понятието число са използвани преди векове и цялата съвременна математика се основава на тях, те едва наскоро бяха поставени на солидна логическа основа. В тази глава ще очертаем основните етапи на това развитие.
§ 1. Рационални числа
1. Рационалните числа като средство за измерване. Естествените числа възникват като абстракция в процеса на преброяване на обекти, които образуват крайни колекции. Но в ежедневието ни се налага не само да броим предмети, отделени един от друг, но и да измерваме количества, като дължина, площ, тегло, време. Ако искаме да осигурим свободата на операции с резултатите от измерването на такива величини, които могат да бъдат разделени на части без ограничения, трябва да разширим границите на аритметиката и да създадем нов свят на числата, без да бъдем ограничени от естествените редове. Първата стъпка е да намалим проблема с измерването до проблема с броенето. Първо избираме, съвсем произволно, мерна единица — фут, ярд, инч, паунд, грам — в зависимост от случая и на тази единица присвояваме мярката 1. След това ниеразглеждаме броя на тези единици, включени в измерената стойност. Може да се случи дадено парче олово да тежи точно 54 паунда.
МАТЕМАТИЧЕСКА БРОЙНА СИСТЕМА
Но в общия случай, както отбелязваме, процесът на броене "не се сближава": дадената стойност не се измерва с абсолютно точно избраната единица, не се оказва кратна на нея. Най-многото, което можем да кажем в този случай е, че е между две последователни кратни на тази единица, да кажем между 53 и 54 паунда. Ако това наистина е така, тогава предприемаме следващата стъпка и въвеждаме нови под-единици, резултат от разделянето на оригиналната единица на някакъв брой n от равни части. На обикновен език тези нови субединици могат да имат различни имена; например един фут е разделен на 12 инча, един метър на 100 сантиметра, един паунд на 16 унции, един час на 60 минути, една минута на 60 секунди и т.н. Този символ се нарича дроб или отношение.
йон (понякога пишат m : n). Последната и най-значима стъпка вече беше направена съзнателно, след много векове натрупване на индивидуални усилия: символът m n беше освободен от специфичната си връзка с процеса на измерване и самите измервани величини и започна да се разглежда като абстрактно число, самостоятелна единица, изравнена в правата си с естественото число. Ако m и n са естествени числа, тогава символът m n се нарича рационално число.
Използването на термина "число" (първоначално "числа" означава само естествени числа) по отношение на новите символи е оправдано от факта, чеобстоятелството, че събирането и умножението на тези символи се подчиняват на същите закони като съответните операции с естествени числа. За да проверите това, първо трябва да определите какво представлява събирането и умножението на рационални числа и също така да определите кои рационални числа се признават за равни едно на друго. Тези определения, както всички знаят, са: