Математическа енциклопедия

ДВУМЕРЕН КОЛЕКТОР-

е топологично пространство, всяка точка от което има околност, която е хомеоморфна на равнина или полуравнина. D. m. е най-илюстративният клас многообразия: те включват сфера, кръг, лента на Мьобиус, проективна равнина, бутилка на Клайн и др.

Точки, които имат само такива съседства, които са хомеоморфни на полуравнината (ако има такива), образуват граница на многообразието.

Най-важният клас на D. m. са затворени ориентируеми D. 2 - повърхност от род 0. Повърхност от род g се получава отS 2чрез премахване на2gдвойки непресичащи се дискове и идентифициране с всяка двойка гранични кръгове на границите на извит цилиндър (фиг. 1).

Този процес се нарича чрез залепване на дръжки, а затворена повърхност от родg -чрез сфера с g дръжки (фиг. 2).

По-широк клас D. m. се състои от компактен ориентируем D. 2. Ако вземем безкраен брой дискове, отиващи до безкрайност, и ги заменим с дръжки или ленти на Мьобиус, получаваме D. m., което не е отворено подмножество на който и да е компактен D. m. (фиг. 8).

Некомпактен Д. м. без ръб, наречен. отворен.

Един от подходите за изследване на D. m. е комбинаторен подход, за който се счита, че D. m. се състои от изпъкнали многоъгълници (лица), съседни един на друг по общи ръбове. Особено важни сатриъгълницитена D. m., където лицата са триъгълници. Ако две D. m. са триангулирани, тогава техните триангулации се наричат. комбинаторно еквивалентни, когато имат изоморфни подразделения, между чиито елементи може да се установи взаимно еднозначно съответствие, което запазва съседството на съответните лица. От произволни двуизмерникомплекситриангулирани D. m. се отличават с факта, че всеки ръб е в съседство с едно (за ръбове на ръба) или две лица и около всеки връх на триангулацията на лицето образува един цикъл (звезда) от лица, последователно съседни едно на друго (фиг. 9).

Цикълът е затворен, ако върхът не лежи на ръба (a), и не е затворен, ако лежи там (b).Компактността на D. m. е еквивалентна на крайността на броя на лицата на всяка триангулация, а свързаността е възможността да се свържат всеки два върха чрез верига от ръбове. В свързан Д. м. всякакви две лица са свързани с верига от лица, в която две съседни имат общ ръб. Неориентируемостта е еквивалентна на съществуването на такава верига, която съдържа лентата на Мьобиус.

Използвайки триангулация, е удобно да се въведат инварианти, v. 2 и RP 2 ) е равнината R 2 , а групата , съответстваща намонодромията, се реализира чрез движения на евклидовата равнина или равнината на Лобачевски. Например, тор се получава чрез идентифициране на всички точки от равнината, които се различават една от друга с u1+nu2,където u1.и u2-са два дадени вектора, а m и n са цели числа. Разклонените покрития също са важни за приложенията. Нека преобразуването f : къдетоM 1иM 2 -са затворени и триъгълни D. m., линейно картографира всяко лицеM 1върху някакво лицеM 2,и за всяко реброI в M 1две съседни лица към него се картографират върху различни лица, съседни на ръба f( l )вM 2.реда на лицата, съседни на него, тогава съответните лица вM 2ще се движат циклично. връх f(v) вM 2цяло числочисло k пъти. Ако k=1, тогава u е обикновена точка, ако k>1, тогава v е точка на разклонение иkе множествеността на разклоненията в точкатаv.обикновени. Тъй като прообразите на близки обикновени точки отM 2се състоят от равен брой точки, поради съображения за непрекъснатост се оказва, че този брой е еднакъв за всички обикновени точки. Нарича се броя на листовете на корицата. Това число d е равно на степента на преобразуване f за ориентируемо D. m.(в случай на неориентируемост трябва да се редуцира по модул две). Акоf -1(w).съдържа точки на разклонение с множественостдо 1, . kt,тогаваf -1(w) съдържапо-малко точки от обикновена точка (тук сумиране за всички точки.

Математическа енциклопедия. — М.: Съветска енциклопедия. И. М. Виноградов. 1977-1985 г.