Математически модели от аналитичен тип
Най-простите аналитични модели могат да бъдат определени изрично като функция на една или повече променливи. Обикновено общите закони на природата или общи модели, получени в резултат на интегриране на диференциални уравнения, се дават под формата на функции. Пример за такъв модел е известната формула на К.Е. Циолковски:
,
което определя увеличаването на скоростта на ракетата по време на импулсно изгаряне на гориво чрез скоростта на изтичане на работния флуид и съотношението на началнатаM0и крайнатаMkмаса на ракетата.
Помислете за кинематичния модел на коляновия механизъм, показан на фигурата:
Схема на коляновия механизъм
За кинематичен анализ на този механизъм, на първо място, е необходимо да се изгради неговият кинематичен модел. За да направим това, заменяме механизма с неговата кинематична схема, където всички връзки са заменени с твърди връзки. Използвайки тази схема, извеждаме уравнението на движение на механизмаSc. Диференцирайки последните, получаваме уравненията на скоросттаVcи ускорениетоac, които са диференциални уравнения от 1-ви и 2-ри ред.
Нека напишем тези уравнения:
Sc=g(1-cosj+/2sin 2 j)
ac =(d 2 j/dt 2 ) g (cosj+l cos2j),
r е радиусът на коляното AB,
l е дължината на свързващия прът BC,
j е ъгълът на въртене на манивелата.
Получените трансцендентални уравнения представляват математически модел на движението на плосък аксиален колянов механизъм въз основа на следните опростяващи предположения:
ние не се интересувахме от конструктивните форми и разположението на масите, включени в механизма на телата, и заменихме всички тела на механизма с линейни сегменти. Всъщност всички връзки на механизма имат маса и доста сложна форма;
при изгражданена математическия модел на движението на разглеждания механизъм, не взехме предвид и еластичността на включените в механизма тела, т.е. всички връзки се разглеждат като абстрактни абсолютно твърди тела. В действителност всички тела, включени в механизма, са еластични тела;
не взехме предвид производствената грешка на връзките, пропуските в кинематичните двойки A, B, C и т.н.
Помислете за друг пример - движението на товар, фиксиран върху пружина.
Съгласно принципа на д'Аламбер сумата от всички сили, действащи върху товара, трябва да бъде равна на нула:
Началните условия характеризират началната позиция и началната скорост на товара:x(0) =x0 иx’(0) =x’0. Уравнението, заедно с началните условия, е математически модел на разглежданата механична система.
Емпирични математически модели
Идентификационният обект е така наречената "черна кутия" с определен брой регулирани или поне измерени входове и един или повече наблюдавани (измерени) изходи.
x
Задачата на идентификациятае да се изгради модел на обект въз основа на резултатите от наблюденията на реакцията му на смущения в околната среда. В този случай е необходимо да се вземат предвид грешките, които възникват при измерване на характеристиките на даден обект.
Необходимо е да се изгради зависимост (модел)W=f(x), която описва характеристиките на изследваната система.Това уравнение се наричарегресионно уравнениеи описва повърхността на реакция, характеризираща емпиричния модел. Обикновено се приема, че наличните експериментални данни предоставят достатъчно информация, за да се реконструира математическото описание на обекта.
На практика могат да възникнат два случая:
1) Формата на математическия модел е известна предварително и проблемът за идентификация се свежда до определяне на коефициентите на този модел.
2) Формата на математическия модел не е предварително известна. В този случай за идентифициране на модела се използват сегменти от безкрайни серии и проблемът е да се определи броят на членовете на серията и коефициентите при тези членове.
Моделът може да бъде представен като
Конкретният тип на модела зависи от избора на функцииfq(x), по отношение на коитоW се разширява.Самата постановка на проблема за идентификация включва елемент на несигурност, възможност за множество решения. Важно е да изберете най-доброто или поне достатъчно добро от тези решения. За оценка на точността на модела е естествено да се използват отклоненията на стойноститеWj, получени в експеримента, и техните оценкиWmj, предвидени от модела ej=Wj–Wmj.