Математически очаквания и дисперсии на стандартни разпределения
Ние знаем математическото очакване и дисперсията на това разпределение от свойства (E2) и (D3): , .
Ние използваме свойството за стабилност на биномното разпределение по отношение на сумирането. Нека вземем някои независими от вероятностното пространство случайни променливи с разпределението на Бернули. Тогава тяхната сума има разпределение и по свойство(E4)имаме:
И тъй като те са независими и дисперсията на всеки е равна, тогава
Нека изчислим така наречения "втори факторен момент":
Нека намерим дисперсията през втория факторен момент:
Моментите от по-висок порядък се намират лесно по отношение на факторните моменти на ред. И така, вторият факторен момент е равен на
Нека изчислим първите два момента:
тъй като под конвергентния интеграл има нечетна функция. Освен това,
Току-що изчислихме,. След това (над всяко равенство подпишете какви свойства дължи)
Намерете за произволен момент на ред.
В последното равенство използвахме гама функцията на Ойлер:
Математическото очакване на разпределението на Коши не съществува, тъй като интегралът се разминава
Той се разминава поради факта, че интеграндът се държи в безкрайност като . Следователно не съществуват нито дисперсията, нито моментите от по-висок ред на това разпределение. Същото може да се каже и за разпределението на Коши.
Разпределението на Парето има само подредени моменти, защото
се сближава за , когато интегралната функция в безкрайност се държи като , където .