Математическо очакване и неговите свойства - Студиопедия
Математическото очакване (или средната стойност)на дискретна случайна променлива е сумата от продуктите на всички нейни възможни стойности и съответните им вероятности.
| х | … | |||
| П | … |
Тоест, ако сл. тогава количеството има закон за разпределение
се нарича неговото математическо очакване. Ако sl. стойността има безкраен брой стойности, тогава математическото очакване се определя от сумата на безкрайна серия, при условие че тази серия се сближава абсолютно (в противен случай те казват, че математическото очакване не съществува).
За непрекъснато сл. стойност, дадена от функцията на плътност на вероятността f(x), математическото очакване се определя като интеграл
при условие, че този интеграл съществува (ако интегралът се разминава, тогава казваме, че математическото очакване не съществува).
Пример 1. Нека дефинираме математическото очакване на случайна променлива, разпределена споредзакона на Поасон. А-приори
,
Това означава, че параметърът,, който определя закона за разпределение на случайната променлива на Поасон, е равен на средната стойност на тази променлива.
Пример 2. За случайна променлива с експоненциален закон на разпределение математическото очакване е
( ):
(в интеграла вземете границите, като вземете предвид факта, че f (x) е различно от нула само за положително x).
Пример 3. Случайна променлива, разпределена според закона за разпределение наКоши, няма средна стойност. Наистина ли
Свойства на очакванията.
Свойство 1. Математическиочакването на константа е равно на самата константа.
Константата C приема тази стойност с вероятност от единица и по дефиниция M(C)=C×1=C
Свойство 2. Математическото очакване на алгебричната сума на случайните променливи е равно на алгебричната сума на техните математически очаквания.
Ние се ограничаваме до доказването на това свойство само за сумата от две дискретни случайни променливи, т.е. докажи това
Под сбора на две дискретни сл. Количествата се разбират като Количество, което приема стойности с вероятности
Но
където е вероятността от събитието, изчислена при условие, че . В дясната част на последното равенство са изброени всички случаи на настъпване на събитието, следователно то е равно на общата вероятност за настъпване на събитието, т.е. . По същия начин. Най-накрая имаме
Свойство 3. Математическото очакване на произведението на две независими случайни променливи е равно на произведението на техните математически очаквания.
| При | … | |||
| Q | … | |||
| х | … | |||
| Р | … |
Ние даваме доказателства за това свойство само за дискретни количества. За непрекъснати случайни променливи това се доказва по подобен начин.
Нека X и Y са независими и имат закони на разпределение
Продуктът на тези случайни променливи ще бъде случайна променлива, която приема стойности с равни вероятности, поради независимостта на случайните променливи, . Тогава
Последствие. Постоянният множител може да бъде изваден от знака за очакване. Така че константата на века С не зависи от това каква стойност ще приеме следващата. стойност X, то по свойство 3. имаме
Пример. Ако иb константи, тогава M(ax+b)=aM(x)+b.
Математическо очакване на броя на поява на събитие в схемата на независими тестове.
Нека се извършат n независими експеримента, вероятността за възникване на събитие във всеки от тях е P. Броят на случванията на събитие в тези n експеримента е случайна променлива X, разпределена според биномиалния закон. Директното изчисляване на средната му стойност обаче е тромаво. За опростяване ще използваме разширението, което ще използваме многократно в бъдеще:
където има закон на разпределение (приема стойност 1, ако събитието се е случило в дадения експеримент, и стойност 0, ако събитието не се е появило в дадения експеримент).
| Р | 1-во | Р |
Следователно
тези. средният брой на случвания на събитие в n независими опити е равен на произведението от броя на опитите и вероятността за възникване на събитието в един опит.
Например, ако вероятността за попадение в целта с един изстрел е 0,1, тогава средният брой попадения в 20 изстрела е 20×0,1=2.
Не намерихте това, което търсихте? Използвайте търсачката:
Деактивирайте adBlock! и обновете страницата (F5)наистина е необходимо