Материал за подготовка за урока по темата Пресечна точка и съюз на множества
УРОК 68.
Тема: Пресичане и обединение на множества.
„Много е много, което мислим за едно единствено“(основател на теорията на множествата – Георг Кантор). Георг Кантор (1845-1918) - немски математик, логик, теолог, създател на теорията за трансфинитните (безкрайните) множества, оказала решаващо влияние върху развитието на математическите науки в началото на 19-20 век.
Множеството е едно от основните понятия на съвременната математика, използвано в почти всички нейни раздели.
За съжаление, основното понятие на теорията - понятието набор - не може да бъде дадено строго определение. Разбира се, може да се каже, че наборът е „комплект“, „колекция“, „ансамбъл“, „колекция“, „семейство“, „система“, „клас“ и т.н., но всичко това не би било математическо определение, а по-скоро злоупотреба с лексиката на българския език.
За да се дефинира каквото и да е понятие, е необходимо преди всичко да се посочи на кое по-общо понятие е частен случай, за понятието множество това е невъзможно да се направи, тъй като в математиката няма по-общо понятие от множество.
Често трябва да говорите за няколко неща, обединени от някакъв знак. По този начин може да се говори за множеството от всички столове в една стая, множеството от всички клетки на човешкото тяло, множеството от всички картофи в дадена торба, множеството от всички риби в океана, множеството от всички квадрати на равнина, множеството от всички точки на дадена окръжност и т.н.
Обектите, които съставят дадено множество, се наричат негови елементи.
Например наборът от дни от седмицата се състои от елементите: понеделник, вторник, сряда, четвъртък, петък, събота, неделя.
Много аритметични действия - от елементи: събиране, изваждане, умножение, деление.
Например, ако A означава набор от всички естествени числа, тогава 6 принадлежи на A, но 3 не принадлежи на A.
Ако едно множество съдържа краен брой елементи, тогава то се нарича крайно, а ако има безкраен брой елементи, то се нарича безкрайно. Така че множеството от дървета в гората е крайно, но множеството от точки на окръжността е безкрайно.
Парадоксът в логиката е противоречие, което има статут на логически правилно заключение и в същото време е разсъждение, което води до взаимно изключващи се заключения.
Както вече споменахме, концепцията за набор е в основата на математиката. Използвайки най-простите набори и различни математически конструкции, човек може да конструира почти всеки математически обект. Идеята за изграждане на цялата математика на базата на теорията на множествата беше активно насърчавана от Г. Кантор. Въпреки това, въпреки цялата си простота, концепцията за набор е изпълнена с опасност от противоречия или, както се казва, парадокси. Появата на парадокси се дължи на факта, че не всички конструкции и не всички множества могат да бъдат разгледани.
Най-простият от парадоксите е "парадоксът на бръснаря ".
На един войник беше наредено да обръсне онези и само онези войници от неговия взвод, които не се обръснаха. Неподчинението на заповед в армията, както знаете, е най-тежкото престъпление. Възникна обаче въпросът дали този войник трябва да се обръсне сам. Ако се бръсне, значи трябва да бъде причислен към многото войници, които се бръснат, а той няма право да бръсне такива. Ако не се обръсне сам, тогава ще попадне в множеството войници, които не се бръснат, и според заповедта той е длъжен да обръсне такива войници.Парадокс.
На множества, както и на много други математически обекти, можете да извършвате различни операции, които понякога се наричат теоретичнимножество операции или множество операции. В резултат на операциите се получават нови набори от оригиналните набори. Множествата се означават с главни латински букви, а техните елементи с малки. Записътa[pic]Rозначава, че елементътaпринадлежи към множествотоR, т.е.aе елемент от множествотоR. В противен случай, когатоaне принадлежи към множествотоR, пишетеa[pic]R.
Две множестваAиBсе наричат равни на(A=B), ако се състоят от едни и същи елементи, т.е. всеки елемент от множествотоAе елемент от множествотоBи обратно, всеки елемент от множествотоBе елемент от множествотоA.
Задайте сравнение.
Набор A се съдържа в набор B (множество B включва множество A), ако всеки елемент от A е елемент от B:
Казва се, че множествоAсе съдържа в множествоBили множествоAеподмножествона множествоB(в този случай те пишатA[pic]B), ако всеки елемент от множествотоAсъщо е елемент от множествотоB. Тази зависимост между наборите се наричавключване. За всеки комплектAима включвания: Ø [pic]AиA[pic]A
В този случайAсе наричаподмножествоB,Bсе наричасупермножество A. Ако [pic] , тогаваAсе наричасобствено подмножествоB. Имайте предвид, че [pic],
По дефиниция [pic],
Две множества се наричат равни, ако са подмножества едно на друго
Операции върху множества
Кръстовище.
Комбиниране.
Свойства.
1. Операцията обединение на множества е комутативна
2. Операцията обединение на множества е транзитивна
3. Празното множество X е неутрален елемент от операцията обединение на множества
2. A=, B=. Нека намерим обединението и пресечната точка на тези множества:
3. Наборът от деца е подмножество от общата съвкупност
4. Пресечната точка на множеството от цели числа с множеството от положителни числа е множеството от естествени числа.
5. Обединението на множеството от рационални числа с множеството от ирационални числа е множеството от положителни числа.
6. Нулата е допълнение на множеството от естествени числа по отношение на множеството от неотрицателни цели числа.
Диаграми на Вен (Диаграми на Вен) е общо наименование за редица методи за визуализация и методи за графично илюстриране, широко използвани в различни области на науката и [връзка] : теория на множествата, всъщност„Диаграма на Вен“показва всички възможни връзки между множества или събития от определено семейство; разновидности надиаграми на Венса: диаграми на Ойлер,
Диаграма на Вен от четири множества. [снимка]
Всъщност"Диаграмата на Вен"показва всички възможни връзки между набори или събития от определено семейство. Обичайната диаграма на Venn има три групи. Самият Вен се опита да намерихубав начин със симетрични фигуриза представяне на повече множества в диаграма, но успя да го направи само за четири групи (вижте фигурата вдясно), използвайки елипси.
Диаграми на Ойлер
Диаграмите на Ойлер са подобни на диаграмите на Вен. Диаграмите на Ойлер могат да се използват за оценка на вероятността от идентичности на теория на множествата.
Задача 1. В класа има 30 души, всеки от тях пееили танци. Известно е, че 17 души пеят, а 19 знаят да танцуват. Колко души пеят и танцуват едновременно?
Решение: Първо, имайте предвид, че от 30 души, 30 - 17 = 13 души не могат да пеят.
Всички знаят как да танцуват, защото според условието всеки ученик от класа пее или танцува. Общо 19 души могат да танцуват, 13 от тях не могат да пеят, което означава, че 19-13 = 6 души могат да танцуват и пеят едновременно.
Задачи за пресичане и обединение на множества.
Множества A = , B = . Намерете множествата AU B,
Съставете поне седем думи, чиито букви образуват подмножества от множеството А -.
Нека A е множеството от естествени числа, делящи се на 2, а B е множеството от естествени числа, делящи се на 4. Какъв извод може да се направи за тези множества?
Във фирмата работят 67 души. От тях 47 говорят английски, 35 говорят немски и 23 говорят и двата езика. Колко души във фирмата не знаят нито английски, нито немски?
От 40 ученици в нашия клас 32 харесват мляко, 21 харесват лимонада, а 15 харесват и мляко, и лимонада. Колко деца в нашия клас не обичат мляко или лимонада?
От тези 18 мои съученици, които обичат да гледат трилъри, само 12 не са склонни да гледат анимационни филми. Колко от съучениците ми гледат само "анимационни филми", ако в класа ни има 25 ученици, всеки от които обича да гледа или трилъри, или анимационни филми, или и двете?
От 29 момчета в нашия двор само две не се занимават със спорт, а останалите посещават секции по футбол или тенис, или дори и двете. Има 17 момчета, които играят футбол и 19 тенис.Колко футболисти играят тенис? Колко тенисисти играят футбол?
65% от зайците на баба обичат моркови, 10% обичат и моркови, и зеле. Какъв процентзайците не са против да ядат зеле?
В един клас има 25 ученика. От тях 7 като круши, 11 като череши. Две като круши и череши; 6 - круши и ябълки; 5 - ябълки и череши. Но в класа има двама ученици, които обичат всичко, и четирима, които изобщо не обичат плодове. Колко ученици в този клас харесват ябълки?
В надпреварата за красота участваха 22 момичета. От тях 10 бяха красиви, 12 умни и 9 мили. Само 2 момичета бяха едновременно красиви и умни; 6 момичета бяха умни и добри едновременно. Определете колко красиви и в същото време мили момичета бяха, ако ви кажа, че сред участниците нямаше нито едно умно, мило и в същото време красиво момиче?
В нашия клас има 35 ученици. През първото тримесечие от петицата по български език са имали 14 ученици; по математика - 12; история - 23. български и математика - 4; по математика и история - 9; по български език и история - 5. Колко ученици са с отличници и по трите предмета, ако в класа няма нито един ученик, който да няма успех поне по един от тези предмети?
От 100 души 85 говорят английски, 80 говорят испански и 75 говорят немски. Всички владеят поне един чужд език. Сред тях няма такива, които знаят два чужди езика, но има такива, които говорят три езика. Колко от тези 100 души знаят три езика?
От служителите на компанията 16 са посетили Франция, 10 - Италия, 6 - Англия; в Англия и Италия - 5; в Англия и Франция - 6; и в трите държави - 5 служители. Колко души са посетили Италия и Франция, ако в компанията има 19 души и всеки от тях е посетил поне една от тези страни?