Матрици. Видове матрици. Алгебрични допълнения.
1.Матрици. Видове матрици.
2. Действия върху матрици.
4. Непълнолетни. Алгебрични допълнения.
6. Система от линейни уравнения.
1.Матрици. Видове матрици.
Правоъгълна таблица, съставена от реални числа, със следната форма
се нарича m x n матрица, където m е броят на редовете, а n е броят на колоните.
Ако m=n, тогава матрицата се нарича квадратна.
Матрица, съставена от една колона, се нарича колона. Матрица, съставена от един ред, се нарича матрица на ред.
Нека матрицата
след това матрица на формата
2.Действия върху матрици.
Сумата от матрици с еднакъв размер е матрица с еднакъв размер, всеки елемент от която е равен на сумата от съответните елементи от данни на матриците.
Разликата на матрици с еднакъв размер е матрица с еднакъв размер, всеки елемент от която е равен на разликата на съответните елементи от данни на матриците.
Произведението на матрица с някакво число е матрица, получена от дадена чрез умножаване на всички нейни елементи по това число.
Произведението на две матрици - матрица A с размер m x n и матрица B с размер n x k - се нарича матрица C с размер m x k, всеки елемент от която е равен на сумата от произведенията на съответните елементи на i-тия ред на матрица A и j-тата колона на матрица B.
Детерминантата на квадратна матрица A от втори ред е числото
Детерминантата на квадратна матрица A от трети ред е числото
4.Непълнолетни. Алгебрични добавки.
МалкиятМij, съответстващ на елементааijот детерминантата, е детерминантата от по-нисък ред, получена от дадената чрез изтриване на реда и колоната, съдържащи елементааij.
квадратна матрицасе нарича неизродена, ако нейната детерминанта е различна от нула, и изродена в противен случай.
МатрицатаA -1се нарича обратна на квадратната матрицаA, ако равенството е вярно:
A -1 × A = A × A -1 =E
Квадратната матрица има обратна тогава и само ако е неособена, т.е. Кога
6.Система от линейни уравнения.
Линейна системаmот уравнения сnнеизвестних1,х2,…хnе система от вида:
Реалните числааijсе наричат системни коефициенти;biсе наричат свободни членове на системата. Подредено множество от числаc1,c2,…cnсе нарича решение на системата, ако, като бъде заменено във всяко от уравненията, то ги превръща в истински равенства.
Система от линейни алгебрични уравнения се нарича последователна, ако има решения, в противен случай се нарича несъгласувана.
Една съвместна система се нарича определена, ако има единствено решение, в противен случай се нарича неопределена.
Методът на Крамър се използва за решаване на системи, в които броят на уравненията и броят на неизвестните са еднакви:
Нека съставим основния детерминант на системата и да го изчислим.
Съставете и изчислете спомагателни детерминанти , къдетоi=1,2,…,n, като замените i-тата колона с колона със свободни членове.
Решението на системата от линейни уравнения се намира по формулите на Крамер:
Да разгледаме система отnлинейни уравнения сnнеизвестни:
1. Основната матрица на системата
3.Векторна колона с безплатни членове
Нека напишем системата в матрична формаAX=B.
Решението на матричното уравнение има формата:X=A -1 ×B, ако
Целта на метода на Гаус е да намалиматрици на системата до триъгълна форма, използвайки елементарни трансформации:
1. Умножение на някое уравнение с число, неравно на нула.
2. Добавяне към едно уравнение на системата на другото й уравнение, умножено по произволно число.
3. Пермутация на две уравнения на системата.
Същността на метода е следната.
Нека е дадена система отmлинейни уравнения сnнеизвестни
Нека напишем разширената матрица на системата
Некаa11≠ 0, в противен случай винаги можете да вземете за първо уравнение това, в което коефициентът прихiе различен от нула и да преномерирате неизвестните.
а) получава се ред от разширената матрицаС (1), в който всички елементиaij(1),i=2,…m,j=2,…n са равни на нула и поне един съответен елементbi(1)≠0. Тогава оригиналната система е несъвместима.
b) само първият ред на матрицатаC (1)е различен от нула. Тогава оригиналната система се състои от едно уравнение. Ако в това уравнение всички коефициенти, с изключение наa11, са равни на нула, тогава оригиналната система има уникално решение. В противен случай системата е недефинирана.
в) сред коефициентитеai1(1)има поне един, различен от нула. След това трябва да преминете към следващата стъпка.
Тук са възможни случаи a, b, c. Ако възникне третият случай, трябва да преминете към следващата стъпка и т.н.
Необходимо е да приведете матрицата във формата:
От тази матрица можем лесно да намерим единственото решение, като извършим „обратно движение“.
От последното уравнение имаме:
Примери за решаване на проблеми.
Задача 1.Намерете сумата от матрици:
Задача 2.Намерете произведението на матрици: