Метод на разполовяване
Секущи
Този метод е модификация на метода на Нютон по отношение на неговата реализация, т.е. проблемът за намиране на корена е свързан само с изчисляване на стойността на функциятаf(x). Заменяйки производнатаf '(xn) в метода на Нютон с така наречената разделена разлика върху две точкиxnиxn+hn, къдетоhnе някакъв малък параметър, получаваме итеративната формула
,n= 0, 1, 2, …, (3.9)
който се наричасекущ метод.
Има и други тълкувания на формула (3.9). По-специално, методътWegstein, при който предишната изчислителна точка се използва за избор на параметърh, т.е.hn=xn–1 –xnсе взема, тогава (3.9) има формата
,n= 0, 1, 2, … . (3.10)
Методът на Wegstein очевидно е двуетапен (m= 2), т.е. за изчислението е необходимо да се зададат две начални точки на приближение, най-добреx0 =а;x1 =b. Този метод е по-бавен от метода на секанса, но изисква половината от изчислениятаf(x) и следователно е по-ефективен.
Препоръчително е да използвате подходи за прецизиране на корена, които не позволяват на корена да излезе от избраната "разклона" (сегмент [a,b]).
Така че, акоf(b)×f"(x) > 0 заxн [a,b], приемете катоx0 =aи уточняването на корена се извършва по формулата
,n= 0, 1, 2, …, (3.11)
и акоf(a)×f"(x) > 0 заxn [a,b], приемете катоx0 =bи уточняването на корена се извършва по формулата
,n= 0, 1, 2, … . (3.12)
Всички горепосочени методи могат да работят, ако функциятаf(x) от (3.1) е непрекъсната идиференцируем близо до желания корен, в противен случай решението не е гарантирано. Този метод може да се използва дори за прекъснати функции.
Неговият алгоритъм е реализиран съгласно следната рекурентна последователност: заx* О [a, b];x0 = a;x1 = b, еx2 = (a + b) / 2.
Следващата точкаx3 се избира като среда на интервалите [x0,x2] или [x2,x1] в съседство сx2, където се намира коренът. Резултатът е следният алгоритъм за метода за разделяне на сегмент наполовина:
За едно изчисление на функцията грешката е наполовина, т.е. скоростта на сходимост е ниска, но методът е устойчив на грешки при закръгляване и винаги се сходи.
След лека корекция алгоритъмът (3.13) може да бъде по-ясно представен под формата на блокова диаграма (фиг. 3.7).