Метод на умножителя на Лагранж
Горните условия за оптималност (теорема 5) лежат в основата наметода на умножителите на Лагранж. което ни позволява да намалим решението на задача (8) - (9) до решението на задачата за неограничена оптимизация на нейната функция на Лагранж.За да направите това, изпълнете следните стъпки.
1. Съставете функцията на Лагранж по формула (10).
2. Намерете стационарни точки на функцията на Лагранж. За да направите това, напишете частните производни по отношение на всички променливиxjиλiи ги приравнете към нула. Получава се система отn+mуравнения, представени с формули (11) - (12). Всички нейни решения са стационарни точки на функцията на Лагранж.
3. Всяко решение (x * ,λ *) на система (11) - (12) дефинира точкаx *, която може да бъде локален оптимум на цифровия филтър в задача (8) - (9). Следователно, след като намерим всички решения на системата (11) - (12), ще получим всички точки, в които цифровият филтър може да има локален оптимум.
4. Сред тези точки, след допълнителен анализ, се избират тези, които наистина са локални оптимални точки. След сравняване на стойностите на цифровия филтър, в тези точки се намира точка, която е глобалният оптимум.
Трябва да се има предвид, че ако (х* ,λ* ) е стационарна точка на функцията на Лагранж, тогава точкатах* не е непременно локалният оптимум на задача (8) - (9). Това е вярно само когато първоначалната задача е VP задача. Освен това, в този случайx* е глобалната оптимална точка на този проблем. Следната теорема е вярна.
Теорема 6.Да приемем, че задача (8) – (9) е VP задача, т.е. всички нейни ограничения са линейни и се търси минимум на изпъкнала (максимум на вдлъбната) функция. Тогава, ако (х* ,λ* ) е решение на система (11) – (12), тох* е глобалната оптимална точка на задача (8) – (9).
Обобщен метод на множителите на Лагранж.
g1(x1,…,xn) =b1.За решаването му се използва методът на множителите на Лагранж. Функцията на Лагранж е изписана
L(x1,…,xn,λ)=f(x1,…,xn)+λ(b1–g1 (x1,…,xn)) и се решава системата от уравнения, която определя стационарните точки на тази функция: Ако в резултат се получи вектор на решение, така че векторът да е допустим в първоначалния проблем иλ* ≥ 0, тогава това означава, че това е желаната оптимална точка. Ако се окаже, чеλ*