НА КВАЗИМНОГООБРАЗИЯТА НА АЛГЕБРИЧНИТЕ СИСТЕМИ

Подреждане на напреженията: АЛГЕБРИЧНИ СИСТЕМИ КВАЗИРАЗНООБРАЗИЕ

АЛГЕБРИЧНИ СИСТЕМИ КВАЗИВАРИЕТРИЯ – клас от алгебрич. системи (Ω-системи), аксиоматизирани с помощта на специални формули лог. език на 1-ви етап, нар. квазиидентичности или условни идентичности и имат формата:

където са членове на сигнатура Ω в обектни променливи x1, . xs . По силата на теоремата на Малцев [1], A. s. сигнатура Ω може също да бъде дефинирана като абстрактен клас от Ω-системи, съдържащи идентичността Ω-система E и затворени за подсистеми и филтрирани продукти (виж [1], [2]). Един аксиоматизируем клас Ω-системи е квазимногообразие тогава и само ако съдържа идентичността Ω-система E и е затворен спрямо подсистеми и декартови произведения. Ако е квазимногообразие със сигнатура Q, тогава подклас 1 от онези системи, които са изоморфно вградени в подходящи системи от някакво квазимногообразие със сигнатура Ω ' ⊇ Ω, сам по себе си е квазимногообразие. Например, класът от полугрупи, вграждащи се в групи, е квазимногообразие; класът на асоциативни пръстени без делители на нула, вградени в асоциативни пръстени за делене, също е квазиразнообразие.

Нарича се квазиразнообразие на сигнатура Ω. крайно дефинируеми (или имащи краен базис от квазиидентичности), ако съществува краен набор S от квазиидентичности със сигнатура Ω, който се състои от тези и само онези Ω-системи, в които всички формули от множеството S са верни. Например, квазимногообразието на всички полугрупи с отмяна се определя от две квазиидентичности

zx = zy → x = y, xz = yz → x = y.

и следователно със сигурност може да се определи. Напротив, квазимногообразието от полугрупи, вграждащи се в групи, няма краен базис от квазиидентичности (виж [1], [2]).

Ако е произволен (не непременно абстрактен) клас от Ω-системи, тогава най-малката средквазимногообразия, съдържащи , т.нар. импликативно затваряне на клас. Състои се от подсистеми от изоморфни копия на филтрирани продукти на Ω-системи от класа ∪ , където E е идентичността на Ω-системата. Ако е импликативното затваряне на класа от Ω-системи, тогава наричаме генериращ клас на квазимногообразието. Квазимногообразие се генерира от една система тогава и само ако за всеки две системиA, Bсъществува в класа системаC, съдържаща подсистеми, изоморфни на системиA, B(виж [1]). Всяко квазимногообразие, съдържащо неелементна система, има свободни системи от всякакъв ранг, които са едновременно свободни системи в уравненото затваряне на класа. Квазимногообразията на Ω-системите, съдържащи се в к.-л. фиксираното квазиразнообразие на сигнатура Ω съставлява пълна решетка по отношение на включването на теорията на множествата. Атомите на решетката на всички квазиразнообразия със сигнатура Ω се наричат. минимални квазимногообразия на сигнатура Ω. Минимално квазиразнообразие се генерира от всяка от неговите неидентични системи. Всяко квази-многообразие, което има система без идентичност, съдържа поне едно минимално квази-многообразие. Ако е квазимногообразие от Ω-системи с крайна сигнатура Ω, тогава всички негови подквазимногообразия образуват групоид по отношение на умножението на Малцев (виж [3]).

Лит. : [1] Малцев А. И., Алгебрични системи, Москва, 1970; [2] П. Кон, Универсална алгебра, прев. от англ., М., 1968; [3] А. И. Малцев, „Сиб. математика. и. ”, 1967, том 8, № 2, с. 346-65.

Математическа енциклопедия. T. 1 (A - D). Изд. колегия: И. М. Виноградов (главен редактор) [и др.] - М., "Съветска енциклопедия", 1977, 1152 stb. от болен.