Обобщени субнормални подгрупи и техните свойства - Субнормални подгрупи на групи
Дефиниция 17Нека е някаква непразна формация. Следвайки L.A. Шеметков, подгрупа на група се нарича:
1) -субнормален, ако има максимална верига
така че за всяка подгрупа е -нормално в ;
2) -ненормално, ако за всяка максимална верига
подгрупата е -abnormal в за всеки .
В този раздел изучаваме групи, чиято всяка нетривиална правилна подгрупа е или -анормална, или -субнормална.
Резултатите, получени върху структурата на такива групи, са успешно приложени в работата на редица математици (виж, например, ).
Лема 18Нека е непразна наследствена формация. Ако е субнормална подгрупа, тогава е субнормална подгрупа.
Доказателство.Нека - -субнормална подгрупа на групата . Ако , тогава лемата е очевидна. Позволявам . Тогава се съдържа в максималната нормална подгрупа на групата . По индукция е субнормална подгрупа на . Тъй като и е наследствена формация, тогава . Оттук. А това означава, че. Тъй като е нормална подгрупа на групата, тогава е субнормална подгрупа на . Лемата е доказана.
Следните леми дават известни свойства на субнормални подгрупи.
Лема 19Нека е непразна наследствена формация. След това:
1) ако е подгрупа на групата и , то е -субнормална в ;
2) ако е -субнормален в , е подгрупа на групата , тогава е -субнормален в ;
3) ако и са субнормални подгрупи на , тогава е -субнормална подгрупа на ;
4) ако -субнормален в , и -субнормален в , тогава -субнормален в ;
5) ако всички композиционни фактори на групата принадлежат към формацията , тогава всяка субнормална подгрупа на групата е -субнормална;
6) ако е субнормална подгрупа на групата , тогава-поднормално в за всеки .
Лема 20Нека - е непразна формация, - подгрупа на групата , - нормална подгрупа на . След това:
1) ако -субнормален в , тогава -субнормален в и -субнормален в ;
2) ако , тогава е -субнормален в ако и само ако -субнормален в .
Лема 21Нека - е локална формация, - група, всяка нетривиална правилна подгрупа от която е или -анормална, или -субнормална. Тогава следните твърдения са верни:
2) ако , тогава е -разрешима група такава, че , където , .
Доказателство.Нека . Очевидно всяка максимална подгрупа на е -subnormal в , И следователно -нормално в . Тъй като е локална формация, тогава .
Позволявам . Нека покажем, че това е разрешима група. Позволявам е всяко просто число от такова, че . Очевидно всяка правилна подгрупа на е -ненормална в . С оглед на това, което получаваме. Това предполага -разрешимостта на групата.
Помислете за подгрупата, където е всяко просто число от. По-горе показахме това. По теорема 15.1, от е -проекторът на групата . По теорема 15.7, -проекторите на група са спрегнати. А това означава, че къде , . Лемата е доказана.
Лема 22Нека е локална наследствена формация. Ако всяка нетривиална правилна подгрупа на група е -abnormal или -subnormal, тогава следните твърдения са верни:
1) всяка субнормална подгрупа на принадлежи към ;
2) подгрупа на е -проектор на групата тогава и само ако е добавянето на към към ;
Доказателство.1) Нека - -субнормална подгрупа от , - максимална подгрупа от . Очевидно е -субнормална подгрупа на групата . От лемата получаваме, че - е нормално в . Тъй като е локална формация, тогава .
2) Позволявам е -проекторът на групата . Оттук. Позволявам , . Според условието-ненормален в , или -субнормален в . Ако е -subnormal в , тогава , където е -нормална максимална подгрупа на . Имайки предвид това, получаваме. Противоречие. Следователно и е допълнение към в .
Позволявам да бъде допълнение към в . След това по лема 11.1 отверигата
Както по-горе, лесно е да се покаже, че - е ненормален в . Освен това,
Тъй като и е локална формация, тогава . По теорема 15.1 от получаваме, че е -проекторът на групата .
3) Без загуба на общост можем да приемем, че . В този случай тя е равна на прякото произведение на някакъв брой минимални нормални подгрупи от . Нека - един от тях. Тъй като , Тогава има максимална подгрупа в такава, че . Ако - е нормално, то от т. 1) следва, че . От тук, съгласно теорема 15.10, следва, че . Противоречие. Така че - е ненормално в . Следователно, чрез теорема 8.1 от получаваме, че е ексцентралният главен фактор на групата . Лесно е да се види това. А това означава, че. Лемата е доказана.
Означаваме с - класа на всички крайни групи, за които всяка правилна нетривиална подгрупа е -субнормална или -анормална.
Лема 23Нека , където е локална формация. Тогава следните твърдения са верни:
1) групата е монолитна с монолит
2) - -група за някакво просто число ;
3) - - извънцентрален основен фактор;
5) ако една група е неабелева, тогава нейният център, комутант и подгрупите на Фратини съвпадат и имат експонента ;
6) ако е абелев, значи е елементарен;
7) ако , тогава - експонента ; когато показателят не надвишава 4;
8) за всяка -ненормална максимална подгрупа на имаме
9) всякакви две -ненормални максимални подгрупи на групата са спрегнати в ;
10) ако подгрупата също съдържа , тогава за всеки пълен локален екран на формацията ;
11) ако --ненормална максимална подгрупа на групата и - някакъв пълен локален екран, след това - минимална негрупа и или, или.
Лема 24Нека е локална наследствена формация. След това .
Доказателство.Нека . От лемата следва, че е главният фактор на групата. Позволявам е нетривиална правилна подгрупа на . Ако , тогава е максималната подгрупа на групата . Ясно е, че - е ненормално в . Ако , тогава по лемата е -subnormal в . Очевидно е, че. А това означава, че - е субнормален в . Следователно е -субнормална подгрупа на групата . Така, . Лемата е доказана.
Спомнете си, че , където - преминава през всички прости числа.
Лема 25Нека е разрешима група и . Тогава или , или е силовска подгрупа в .
Доказателство.Ако е първично, тогава лемата е очевидна. Позволявам да бъде неосновно и да е -група за някои просто число . Тъй като няма нормални -подгрупи в , Тогава е Sylow -подгрупа на . Лемата е доказана.
Лема 26Нека е локална наследствена формация, е разрешима група и . Ако и само ако следните твърдения са верни:
2) всяка собствена субнормална подгрупа на принадлежи на .
Доказателство.Необходимост. Нека и . Нека покажем, че е Хол подгрупа на . Позволявам и е минималната нормална подгрупа на групата, съдържаща се в . Това е ясно
По индукция е подгрупа на Хол от . Ако се дели на , тогава . Нека тогава
Противоречие. И така, и е Хол подгрупа на . Нека не делим на. Чрез обобщената лема на Фратини
Ясно е, че е зала подгрупа на . Ако , тогава по индукция е холова подгрупа на . Следователно, е подгрупата на Хол. Ако, тогава. Така, . Тъй като , тогава, като вземем предвид лемата , разгледайте следните два случая:
1) има нормална силовска подгрупа.Ако, тогава. По лема. Така, . Нека, къде. Ясно е, че и . По индукция е подгрупа на Хол от . По лема 1.2 от . По лема. Следователно, е подгрупа на Хол от ;
2). Нека и са минимални нормални подгрупи на , и -група -група . Ако, тогава. Оттук. По индукция е подгрупа на Хол от . Следователно, е зала подгрупа на . Нека и . По индукция и са холови подгрупи на и, съответно. Позволявам . Ако, тогава. От тук се дели на . Позволявам . Тогава и се дели на . И така, е Хол подгрупа на групата . следователно
По лема, проектор. Твърдение 2) следва от лемата .
Адекватност. Позволявам е правилна нетривиална подгрупа на . Тогава къде , . Ако , тогава по теорема 15.1 от , и следователно също , е -ненормален в . По условие. Следователно - е субнормален в , а оттам и в . Така, . Лемата е доказана.
Лема 27Нека е формация от всички свръхразтворими групи, е не-свръхразтворима група от . Тогава следните твърдения са верни:
1) , , - проектор , - дисперсионна група;
2) е или група на Милър-Морено, или първична абелева група.
Доказателство.Първо, нека докажем дисперсията на групата. Според лемата той е свръхразтворим. Това означава, че групата е разрешима. Позволявам е най-големият прост делител на . Ясно е, че това е нормално в. Ако , тогава по лемата е свръхразтворимо. Следователно нормално за . Очевидно е, че. Депресивно чрез индукция. А това означава, че е дисперсивен. Позволявам . Нека покажем това. Нека се преструваме, че. Позволявам е Sylow -подгрупа на . Според лемата той е свръхразтворим и следователно нормален в . Тъй като е лесно да се види, че - е ненормално в . По теорема 15.1, от е -проектор . По лемата добавянето към in . следователно
По лемата на Фратини
Ако , то това противоречи на факта, че . Следователно е нормално в. Оттук,тези. . Като вземем предвид индукцията, получаваме дисперсията на групата . Ясно е, че. По лемата къде е -проекторът и . Нека докажем твърдение 2). Без загуба на общоприетост приемаме, че . Нека покажем това. Наистина е нормално в , и . Следователно, е нормална подгрупа на . Следователно къде е максималната нормална подгрупа на . По лема. Следователно, . Противоречие. Така,
Позволявам . Като вземем предвид лемата 1.46, получаваме свръхразтворимостта на . Следователно нилпотентен. Тъй като е лесно да се покаже, че следователно е абелев. Ако е абелев, тогава с оглед на лема 1.4 6 и следствие 4.8 2 от е първичен. Лемата е доказана.
Наред с концепцията за -субнормалност, естествено обобщение на субнормалността е концепцията за -достижимост, въведена от Кегел в .
Дефиниция 28Нека наречем подгрупа -достъпна, ако съществува верига от подгрупитакава, че за всеки или подгрупата е нормална в или .
Обърнете внимание, че за всяка непразна формация множеството от всички -достъпни подгрупи на произволна група съдържа множеството от всички поднормални подгрупи на групата и множеството от всички -поднормални подгрупи на групата. Ако е непразна нилпотентна формация, тогава множеството от всички -достъпни подгрупи съвпада точно с множеството от всички поднормални подгрупи за произволна група .
Развивайки класическия резултат на Виланд, отбелязан по-горе, Кегел установява в работата си, че множеството от всички достижими подгрупи във всяка крайна група образува решетка, ако е наследствена формация, затворена спрямо разширения. В същата работа Кегел поставя проблема за намиране на нови класове групи, които имат свойството, че множеството от всички достижими подгрупи във всяка крайна група образуват решетка.
Дефиниция 29Нека е непразен клас на Фитинг. Подгрупа от група се нарича -injector в ако имасубнормална подгрупа на пресечната група е -максималната подгрупа на . Непразният клас на Фитинг се нарича нормален в груповия клас (), ако някоя -група има нормален -инжектор. Очевидно, ако и само ако непразният клас на Фитинг е нормален в класа, ако е -инжектор за всяка -група.
Лема 30Нека е непразна наследствена формация. Тогава следните твърдения са верни:
1) ако е подгрупа на и , то е -достижима подгрупа на групата ;
2) ако е -достижима подгрупа от група , тогава -достижима подгрупа за всяка подгрупа от група ;
3) ако е -достижима подгрупа и -достижима подгрупа от група , то -достижима подгрупа от група ;
4) ако и са -достижими подгрупи на групата , тогава е -достижима подгрупа на групата .
1) Позволявам е подгрупа на групата, съдържаща . Според лемата, е -субнормална подгрупа на групата . И тъй като всяка -субнормална подгрупа на групата е -достъпна в , тогава -достижима подгрупа на групата .
2) Нека - -достижима подгрупа на групата . Тогава, по дефиниция, има верига от подгрупи
така че за всеки или подгрупата е нормална в или .
Нека е някаква подгрупа на . Помислете за верига от подгрупи:
Ако една подгрупа е нормална в , тогава подгрупата е нормална в . Позволявам . Тъй като образуването е наследствено, следва, че
Сега, поради изоморфизма, имаме
От тогава . Така че, за всеки, или подгрупата е нормална в или . Следователно, по дефиниция, е -достижима подгрупа на групата .
Твърдение 3) следва пряко от определението за -достижимост.
Твърдение 4) сега следва от твърдения 2) и 3). Лемата е доказана.