Обратен оператор

Нека сега преминем към описанието на условията за уникалност на решението на операторното уравнение.

Определение 3.5.3. Оператор A: X! Y се нарича обратимо, ако за всяко y 2 R(A) уравнението

има единствено решение x 2 D(A) . Операторът, който приписва на всеки елемент y 2 R(A) уникален елемент x 2 D(A), който удовлетворява уравнението (3.5.3), се нарича обратен на A и се означава с A 1 .

Обърнете внимание, че обратимостта не съответства на условие 1) за съществуване в дефиницията на Адамар за коректност, а на условие 2) за уникалност.

Твърдение 3.5.2. Нека операторът A : X ! Y е линеен. Тогава следните условия са еквивалентни:

1) операторът A е обратим;

2) операторът A е инективен;

Доказателство. Нека ker A = 0 . Тогава, ако y 2 R(A) и

Брадва 1 \u003d Брадва 2 \u003d y, след това

0 = Ax 1 Ax 2 = A(x 1 x 2);

тези. (x 1 x 2) 2ker A. Следователно x 1 x 2 = 0 и операторът A е инективен.

оператор

Освен това, ако операторът A е инективен, тогава уравнението ( 3.5.3 ) очевидно има уникално решение за всички y 2 R(A) , т.е. операторът А е обратим.

И накрая, ако A е обратимо и x 2 ker A , тогава поради уникалността на решението на уравнение (3.5.3) заключаваме, че x = 0 , т.е. ker A = 0 .

Така доказахме, че 3) предполага 2), 2) предполага 1) и 1) предполага 3). Така че тези три условия са еквивалентни.

Теорема 3.5.2. Ако операторът A е линеен и обратим, то операторът A 1 също е линеен.

Доказателство. Първо, отбележете, че D(A 1 ) =

R(A) е линейно многообразие в Y (виж предложение 3.1.2) . Нека y 1 ; y 2 2 R(A) . За да го докажете, достатъчно е да проверите това

(3.5.4) A 1 (ay 1 + by 2 ) = aA 1 y 1 + bA 1 by 2

за всички скалариа и б.

Нека Ax 1 = y 1 , Ax 2 = y 2 . Поради линейността на оператора A

(3.5.5) A(ax 1 + bx 2 ) = aAx 1 + bAx 2 = ay 1 + by 2 :

Тъй като по дефиниция на обратния оператор x 1 = A 1 y 1 , x 2 = A 1 y 2 , тогава

aA 1 y 1 + bA 1 y 2 = ax 1 + bx 2 :

От друга страна, от (3.5.5) следва, че

A 1 (ay 1 + by 2 ) = ax 1 + bx 2 ;

което заедно с двете предходни равенства дава

Нека

Теорема 3.5.3. Ако един оператор е затворен и обратим, тогава неговият обратен оператор също е затворен.

Доказателство. Разгледайте графиките на операторите A и A 1 :

= f(x; Ax); x 2 D(A)g; 1 = f(y; A 1 y); y 2 R(A)g:

Ясно е, че графиката на оператора A 1 може да бъде пренаписана във формата

1 = f(Ax; x); x 2 D(A)g;

което означава, че може да се идентифицира с графиката на оператора A .