Определение на Difference Scheme на Difference Scheme и синоними на Difference Scheme (английски)
От Уикипедия, свободната енциклопедия
Диференциална схемае крайна система от алгебрични уравнения, присвоени на някакъв диференциален проблем, съдържащ диференциално уравнение и допълнителни условия (например гранични условия и/или начално разпределение). По този начин диференциалните схеми се използват за редуциране на диференциален проблем, който има непрекъснат характер, до крайна система от уравнения, чието числено решение е принципно възможно на компютри. Алгебрични уравнения, свързани с диференциално уравнение, се получават с помощта на диференциалния метод, който отличава теорията на диференциалните схеми от други числени методи за решаване на диференциални проблеми (например проекционни методи, като метода на Галеркин).
Решението на диференциалната схема се нарича приближено решение на диференциалната задача.
Въпреки че формалната дефиниция не налага значителни ограничения върху формата на алгебричните уравнения, на практика има смисъл да се разглеждат само онези схеми, които по някакъв начин съответстват на диференциална задача. Важни концепции на теорията на диференциалните схеми са концепциите за конвергенция, апроксимация, стабилност и консерватизъм.
Съдържание
Приближение
За да могат уравненията да бъдат по някакъв начин свързани с апроксимирания диференциален оператор, е необходимо уравненията да отговарят на полиноми. Ако уравненията са изпълнени за всички полиноми със степен не по-висока отrдо (букватаhсе използва за обозначаване на стъпката на мрежата), тогава се казва, че диференциалната схема имаrти ред на приближение.
устойчивост
Условията на апроксимация не са достатъчни за приближаване на резултата от диференциалната схематочен отговор приh→0. В случай на вериги, чиито коефициенти не зависят от решението на диференциалното уравнение, условието за стабилност трябва да бъде изпълнено. Такива схеми могат да бъдат представени като някакъв линеен оператор, който преобразува стойностите на функцията в моментаtв стойностите на функцията в моментаt+h. Условието за стабилност изисква собствените стойности (като цяло комплексни) на този оператор да не превишават1+chпо абсолютна стойност, къдетоcе някаква константа, катоh→0. Ако това условие не е изпълнено, тогава грешките във веригата нарастват бързо и резултатът е по-лош, колкото по-малка е стъпката. Ако както условието за приближение, така и условието за стабилност са изпълнени, тогава резултатът от диференциалната схема се сближава с решението на диференциалното уравнение (теоремата на Лакс-Рябенски)
Състояние на курант
Условието на Курант (в английската литератураCourant-Friedrichs-Levy condition, CFL) — скоростта на разпространение на смущенията в диференциалната задача не трябва да бъде по-малка от тази в диференциалната задача. Ако това условие не е изпълнено, тогава резултатът от диференциалната схема може да не е склонен да реши диференциалното уравнение. С други думи, в една времева стъпка частицата не трябва да „преминава“ през повече от една клетка.
В случай на вериги, чиито коефициенти не зависят от решението на диференциалното уравнение, условието на Курант следва от стабилността.
За хиперболични системи от уравнения това условие често приема формата
( е стъпката във времето, е стъпката на пространствената мрежа, е максималната модулна собствена стойност в точката. Минимумът се взема за всички точки на мрежата.)
Класификация на веригата
Изрични схеми
Изричните схеми изчисляват стойността на резултата чрез няколко съседни точки от данни. Примерна ясна схема за диференциране: (2-ри редприближения). Изричните схеми често са нестабилни.
Според теоремата на Годунов сред линейните диференциални схеми за транспортното уравнение с порядък на приближение, по-висок от първия, няма стабилни. По този начин всички стабилни схеми за приближение от висок ред са нелинейни (въпреки линейността на оригиналното уравнение).
Неявни схеми
Неявните схеми използват уравнения, които изразяват данни по отношение на няколко съседни резултатни точки. За да се намери резултатът, се решава система от линейни уравнения. Пример за имплицитна схема за низовото уравнение: . Неявните схеми обикновено са стабилни.
Полуимплицитни схеми
На някои стъпки се използва явна схема, на други - имплицитна (като правило тези стъпки се редуват). Пример(?) – Схема на Кранк-Никълсън, когато решението се приема като средна стойност на явната и неявната схема на решение за подобряване на точността
Компактни схеми
Компактните диаграми използват уравнения, които свързват стойностите на резултатите в множество съседни точки със стойностите на данните в множество съседни точки. Това дава възможност да се увеличи редът на приближение. Пример за компактна схема за диференциране: (4-ти ред на приближение).
Консервативни схеми
Когато диференциалната схема удовлетворява същите интегрални отношения (например запазване на енергията, ентропията) като оригиналното диференциално уравнение, тогава се говори за свойството консерватизъм. Консервативните схеми обикновено се представят в различна форма.
Примери за консервативни схеми на хидродинамиката са схемата на Самарски, методът на Белоцерковски за големи частици.
Схеми на наклонени мрежи
В тези мрежови схеми, където резултатът е зададен и данните са изместени един спрямо друг. Например точките за резултат са по средата между тяхточки за данни. В някои случаи това позволява използването на по-прости гранични условия.
- „Различни схеми“ – глава на Wikibooks за „Различни схеми за хиперболични уравнения“
- [1] Демянов А. Ю., Чижиков Д. В. Неявна хибридна монотонна диференциална схема от втори ред на точност
Всички преводи на Различна схема