Основните признаци на делимост
Паскал тест - метод, който ви позволява да получите знаци за делимост на произволно число.
Нека има естествено число, записано в десетичната система като , където са единици, са десетици и т.н.
Нека е произволно естествено число, на което искаме да разделим и показваме знака за делимост с него.
Намираме редица остатъци по следната схема:
- остатък след деление на
- остатък след деление на
- остатък след деление на
е остатъкът след делене на.
Тъй като има краен брой остатъци (а именно ), този процес ще върви на цикли (не по-късно от на стъпки) и не можете да го продължите по-нататък: Започвайки от някои , където е полученият период на последователността. За еднаквост можем да приемем, че.
След това има същия остатък след делене, на , като числото
Основните специални случаи на извличане на критерии за делимост на различни числа:
Знак за делимост на 2
Тук. От тогава. Оттук получаваме добре познат знак: остатъкът от деленето на число на 2 е равен на остатъка от деленето на последната му цифра на 2 или обикновено: едно число се дели на 2, ако последната му цифра е четна.
Признаци за делимост на 3 и 9
Тук или. Тъй като (остатъкът от деленето на 10 на 3 и 9 е 1), тогава това е всичко. Това означава, че остатъкът от деленето на число на 3 (или 9) е равен на остатъка от деленето на сбора от цифрите му на 3 (съответно 9), или по друг начин: едно число се дели на 3 (или 9), ако сборът му от цифри се дели на 3 (или 9).
Делимост на знак 4
Тук. Намираме последователността от остатъци:. Оттук получаваме знак: остатъкът от деленето на число на 4 е равен на остатъка от деленето на 4, или като се има предвид, че остатъкът зависи само от последните 2 цифри: числото се дели на 4, ако числото, състоящо се от неговите 2 последни цифри, се дели на 4.
Знак за делимост на 5
Тук. От тогава. Оттук получаваме добре познат знак: остатъкът от деленето на число на 5 е равен на остатъка от деленето на последната му цифра на 5 или обикновено: едно число се дели на 5, ако последната му цифра е 0 или 5.
Знак за делимост на 7
Тук. Намираме останалото.
6. , цикълът е затворен.
Следователно за всяко число неговият остатък, разделен на 7, е
Помислете за числото 48916. Както беше доказано по-горе,
, което означава, че 48916 се дели на 7.
Знак за делимост на 11
Тук. Тъй като , тогава всички , a. От тук можете да получите прост знак за делимост на 11: остатъкът от деленето на число на 11 е равен на остатъка от деленето на сбора му от цифри, където всяка нечетна (започваща от единици) цифра се взема със знак „-“, на 11. Просто казано: ако разделите всички цифри на числото на 2 групи - през една цифра (всички цифри с нечетни позиции ще попаднат в една група, в другата с четни единици), съберете всички цифри във всяка група и извадете двете получени суми една от друга, тогава остатъкът от деленето на 11 резултатът ще бъде същият като оригиналното число.
2. Признаци на делимост
Тестът за делимост е правило, което ви позволява относително бързо да определите дали дадено число е кратно на предварително определено число, без да се налага да извършвате действителното деление. Правило, базирано на операции с цифри от записа на число в позиционна бройна система (обикновено десетична).
2. 1. Основни признаци на делимост.
В математиката има пет основни признака на делимост. Това са знаци за делимост на: 2, 3, 5, 9 и 10.
Знак за делимост на 2
Едно число се дели на 2, ако числото завършва на четно число или нула.
Например: Числото 248 ще се дели на 2, тъй като в края на това число има четно число 8.
Едно число няма да се дели на 2, ако числото завършвадо нечетно число.
Например: Числото 235 не се дели на 2, защото краят на това число е нечетна цифра.
Знак за делимост на 3
Едно число се дели на 3, ако сборът от цифрите на числото се дели на 3.
Например: Числото 342 (3 + 4 + 2 = 9) ще се дели на 3, тъй като сборът от неговите цифри е 9, а числото 9 се дели на 3.
Едно число не се дели на 3, ако сборът от цифрите на числото не се дели на 3.
Например: Числото 526 (5 + 2 + 6 = 13) не се дели на 3, тъй като сборът от цифрите на това число е 13, а 13 не се дели на 3.
Знак за делимост на 5
Едно число се дели на 5, ако последната цифра на числото е 0 или 5.
Например: Числото 675 ще се дели на 5, защото числото завършва с 5.
Едно число не се дели на 5, ако не завършва нито с 0, нито с 5.
Например: Числото 456 няма да се дели на 5, тъй като нито 5, нито 0 са в края на това число.
Знак за делимост на 9
Едно число се дели на 9, ако сборът от цифрите на числото се дели на 9.
Например: Числото 963 (9 + 6 + 3 = 18) ще се дели на 9, тъй като сборът от цифрите на това число е 18, а числото 18 се дели на 9.
Едно число не се дели на 9, освен ако сборът от цифрите на числото не се дели на 9.
Например: Числото 735 (7 + 3 + 5 = 15) не се дели на 9, тъй като сборът от цифрите на това число е 15, а числото 15 не се дели на 9.
Знак за делимост на 10
Числото се дели на 10, ако последната цифра на числото е нула.
Например: Числото 840 ще се дели на 10, тъй като това число завършва на нула.
Едно число не се дели на 10, освен ако последната цифра на числото не е нула.
Например: Числото 123 не се дели на 10, защото това число не завършва на нула.
Тези признаци на делимост преминават през училищната програма. В следващата глава ще разгледам допълнителни критерии за делимост.
2. 2. Допълнителни признаци на делимост
В работата си си поставих за задача да се запозная с допълнителни признаци на делимост. Тук ще изброя онези признаци за делимост, които научих допълнително.
Делимост на знак 4
Едно число се дели на 4, ако последните две цифри на числото са нули или образуват число, което се дели на 4.
Например: Числото 328 ще се дели на 4, тъй като последните две цифри на това число образуват числото 28, което се дели на 4.
Едно число не се дели на 4, освен ако последните две цифри на това число не образуват число, което се дели на 4, или ако не завършва с две нули.
Например: Числото 567 не се дели на 4, тъй като последните две цифри на това число са 67, те образуват число, което не се дели на 4.
Знак за делимост на 6
Едно число се дели на 6, ако се дели и на 2, и на 3.
Например: Числото 642 (6 + 4 + 2 = 12) ще се дели на 6, тъй като сборът от цифрите на това число се дели на 3 и завършва на четно число.
Едно число не се дели на 6, ако не се дели нито на 2, нито на 3 (само 2, само 3).
Например: Числото 749 (7 + 4 + 9 = 20) не се дели на 6, тъй като сборът от цифрите на това число е 20, а 20 не се дели на 3 и тъй като това число завършва с нечетна цифра (следователно не се дели на 2).
Знак за делимост на 7
Едно число се дели на 7, ако разликата между броя на десетиците и удвоената цифра на единиците се дели на 7.
Например: Числото 707 ще се дели на 7, тъй като броят на десетиците на това число е 70, а удвоеният брой на единиците е 14. Разликата на тези числа (70 - 14 = 56) дава число, което се дели на 7.
Едно число няма да се дели на 7, освен ако разликата между броя на десетиците и двойната цифра на единиците не се дели на 7.
Например: Число892 няма да бъде разделено на 7, тъй като броят на десетиците на това число е 89, а удвоеният брой на единиците е 4. Разликата на тези числа (89 - 4 = 85) води до число, което не може да бъде разделено на 7.
Знак за делимост на 8
Едно число се дели на 8, ако последните три цифри на числото са нули или образуват число, делящо се на 8.
Например: Числото 1848 ще се дели на 8, тъй като последните три цифри на това число образуват числото - 848, което ще се дели на 8.
Едно число не се дели на 8, освен ако последните три цифри на това число не образуват число, което се дели на 8, или ако завършва с три нули.
Например: Числото 2679 не се дели на 4, защото последните три цифри на това число са 679, а 679 не се дели на 8.
Знак за делимост на 11
Едно число се дели на 11, ако разликата между сбора на цифрите на нечетните места и сбора на цифрите на четните места се дели на 11.
Например: Числото 1925 ще се дели на 11, тъй като разликата между сумата от цифрите на числото на нечетни места и сумата от цифрите на четни места (9 + 5) - (1 + 2) = = 11), 11 се дели на 11.
Едно число не се дели на 11, ако разликата между сбора от цифрите на числото на нечетни места и сбора от цифрите на числото на четни места не се дели на 11.
Например: Числото 6817 няма да бъде разделено на 11, тъй като разликата между сумата от цифрите на числото на нечетни места и сумата от цифрите на четни места (8 + 7) - (6 + 1) \u003d 8, 8 няма да бъде разделена на 11.
Знак за делимост на 12
Числото се дели на 12, ако се дели и на 4, и на 3.
Например: Числото 2028 (2 + 0 + 2 + 8) се дели на 12, тъй като сборът от цифрите на това число се дели на 3, а последните две цифри на това число са 28, 28 се дели на 4.
Едно число не се дели на 12, ако не се дели нито на 4, нито на 43 (само 3, само 4).
Например: Числото 5897 (5 + 8 + 9 + 7 = 29) не се дели на 12, тъй като сумата от цифрите на това число не се дели на 3, а последните две цифри на това число са 97, 97 не се дели на 4.
Знак за делимост на 13
Едно число се дели на 13, ако броят на неговите десетици, добавен към четири пъти броя на единиците, се дели на 13.
Например: Числото 845 (84 + (4 × 5) = 104) ще се дели на 13, тъй като броят на неговите десетки, добавен към четворния брой на единиците, се дели на 13.
Едно число не се дели на 13, освен ако неговите десетици плюс четири пъти неговите единици не се делят на 13.
Например: Числото 678 (67 + (8 × 4) = 99) не се дели на 13, тъй като броят на неговите десетици, добавен към четворния брой единици, не се дели на 13.
Знак за делимост на 14
Едно число се дели на 14, ако числото се дели и на 2, и на 7.
Например: Числото 784 ще се дели на 14, тъй като разликата между броя на десетките и двойната цифра на единиците (78 - (4 × 2) \u003d 70) се дели на 7 и в края на това число има четна цифра.
Едно число не се дели на 14, ако не се дели нито на 2, нито на 7 (само 2, само 7).
Например: Числото 563 не се дели на 14, тъй като разликата между броя на десетиците и двойната цифра на единиците (56 - (3 × 2) = 50) не се дели на 7 и в края на това число има нечетна цифра.
Знак за делимост на 15
Числото се дели на 15, ако се дели и на 3, и на 5.
Например: Числото 315 (3 + 1 + 5 = 9) ще се дели на 15, защото сборът от неговите цифри се дели на 3 и завършва на 5.
Едно число не се дели на 15, ако не се дели нито на 3, нито на 5 (само 3, само 5).
Например: Числото 677 (6 + 7 + 7 = 20) не се дели на 15, защото сумата от цифрите му не се делис 3 и това число не завършва нито с 5, нито с 0.
Знак за делимост на 19
Едно число се дели на 19, ако броят на неговите десетици, добавен към удвоения брой на единиците, се дели на 19.
Например: Числото 646 (64 + (6 × 2) = 76) ще се дели на 19, тъй като броят на неговите десетки, добавен към удвоения брой единици, се дели на 19.
Едно число не се дели на 19, освен ако неговите десетици плюс два пъти неговите единици не се делят на 19.
Например: Числото 789 (78 + (9 × 2) = 96) не се дели на 19, тъй като броят на неговите десетици, добавен към удвоения брой единици, не се дели на 19.
Знак за делимост на 23
Едно число се дели на 23, ако броят на неговите стотици, добавен към три пъти броя на десетиците, се дели на 23. Например: Числото 28842 ще се дели на 23, тъй като броят на неговите стотици, добавен към три пъти броя на десетиците (288 + (3 × 42) = 414, продължавайки 4 + (3 × 14) = 46) се дели на 23.
Числото не се дели на 23, освен ако неговите стотици плюс тройните му десетици не се делят на 23.
Например: Числото 34567 не се дели на 23, тъй като числото на неговите стотици, добавено към тройното число на десетиците (345 + (3 × 67) = 546, продължавайки 5 + (3 × 46) = 143) не се дели на 23.
Знак за делимост на 25
Едно число се дели на 25, ако последните две цифри на числото са нули или образуват число, делящо се на 25.
Например: Числото 675 ще се дели на 25, тъй като последните две цифри на това число са 75, 75 се дели на 25.
Едно число не се дели на 25, ако последните две цифри образуват число, което не се дели на 25.
Например: Числото 987 не се дели на 25, тъй като последните две цифри на това число са 87, 87 не се дели на 25.
Знак за делимост на 99
Нека разделим числото на групи от две цифри от дясно на ляво (в най-лявата група,е една цифра) и намерете сбора на тези групи, като ги считате за двуцифрени числа. Тази сума се дели на 99, ако самото число се дели на 99.
Например: Числото 80909037 ще се дели на 99, защото 80 + 90 + 90 + 37 = 297 ще бъде разделено на 99.
Знак за делимост на 101
Нека разделим числото на групи от две цифри от дясно на ляво (най-лявата група може да има една цифра) и да намерим сумата на тези групи с променливи знаци, като ги считаме за двуцифрени числа. Тази сума се дели на 101, ако самото число се дели на 101.
Например: Числото 590547 ще се дели на 101, защото 59 - 05 + 47 = 101 се дели на 101.
Има и знаци за делимост на 2 n, на 5 n, на 10 n, 10 n - 1, 10 n + 1.
3. 1. Разлагане на прости множители.
Факторизацията е една от операциите, при които се използват критерии за делимост. Ако знаем признаците за делимост на такива числа като: на 2, на 3, на 7, на 11, на 13 и т.н., тогава разлагането на числата на прости множители е много по-лесно.
Например: Разлагане на прости множители на числото 600: 600/2. Тук използвам критериите за делимост на 2, 3 и 5. 300/2
3. 2. Намиране на NOC и GCD
Критериите за делимост също помагат при намирането на най-малкото общо кратно (LCM) и най-големия общ делител (NOD).
Знам, че един от начините за намиране на LCM (както и GCD) е разлагането на числата на прости множители (повече за това в предишния параграф), така че няма да се спирам подробно на LCM.
GCD може също така бързо да се намери с помощта на критерии за делимост.
Например: НОД(36;12) = 12. Прилагат се знаци за делимост: на 2, на 3, на 4, на 6, на 9, на 12.
3. 3. Съкращаване на дроби
Намаляването на дробите е свързано с намирането на GCD (повече за това в предишния параграф) Следователно тази концепциясъщо свързани с характеристиките на делимост.
Например: Редуцираме дробта 28/35, НОД(28,35) = 7, получаваме следния запис: 28/35= 4/5.
3. 4. Сравнение на дроби
Сравнението на дроби също е свързано със знаци за делимост. NOC ми помага да сравня дроби.