Основните видове математически модели – Студиопедия
Практически е невъзможно да се създаде някакъв универсален модел, който да отговаря на различни аспекти на неговото приложение. За да се получи информация, която отразява определени свойства на управляван обект, е необходимо да се класифицират моделите. Класификацията се основава на характеристиките на оператораφ.Цялото разнообразие от обекти на управление, базирано на времеви и пространствени характеристики, може да се раздели на следните класове: статични или динамични; линейни или нелинейни; непрекъснати или дискретни във времето; стационарни или нестационарни; процеси, в хода на които техните параметри се променят в пространството, и процеси без пространствена промяна на параметрите. Тъй като математическите модели са отражение на съответните обекти, те се характеризират с едни и същи класове. Пълното име на модела може да включва комбинация от изброените функции. Тези знаци послужиха като основа за имената на съответните видове модели.
В зависимост от характера на изследваните процеси в системата, всички модели могат да бъдат разделени на следните типове:
Детерминистични модели– показват детерминистични процеси, т.е. процеси, при които се предполага липсата на всякакви случайни влияния.
Стохастични модели– показват вероятностни процеси и събития; в този случай се анализират редица изпълнения на случаен процес и се оценяват средните характеристики.
Стационарниинестационарни модели.Моделът се нарича стационарен, ако формата на оператора φ и неговите параметри p не се променят във времето, т.е.
Ако параметрите на модела се променят с времето, тогава моделът е такъв
Най-общата форма на нестационарност е, когато формата на функцията също зависи от времето. След това в протоколакъм функцията се добавя още един аргумент
Статични и динамични модели.Това разделение на типове модели се основава на характеристиките на движението на обекта, който се изследва като материална система.
Говорейки за модели от гледна точка на проблемите на управлението, трябва да се отбележи, че пространството тук се разбира не като геометрично пространство, а като пространство от състояния - координатите на състоянията на изходните променливиy. Елементите на вектораy обикновено са контролирани технологични параметри (дебит, налягане, температура, влажност, вискозитет и др.). Съставът на елементите на вектораy за самия обект може да бъде по-широк, отколкото за модела на този обект, тъй като моделирането изисква изучаване само на част от свойствата на реална система. Движението на управляващия обект в пространството на състоянието и във времето се оценява с помощта на векторния процес y(t).
Системният модел се наричастатичен, ако състоянието на системата не се променя, т.е. системата е в равновесие, но движението е свързано със статичното състояние на обекта в равновесие. Математическото описание в статичните модели не включва времето като променлива и се състои от алгебрични уравнения или диференциални уравнения в случай на обекти с разпределени параметри. Статичните модели обикновено са нелинейни. Те точно отразяват състоянието на равновесие, причинено от прехода на даден обект от един режим в друг.
Динамичниятмодел отразява промяната в състоянието на обекта във времето. Математическото описание на такива модели задължително включва времева производна. Динамичните модели използват диференциални уравнения. Точните решения на тези уравнения са известни само за определен клас диференциални уравнения. По-често се налага да се прибягва до използването на числени методи,да бъдеш близо.
За целите на управлението динамичният модел се представя като трансферна функция, която свързва входни и изходни променливи.
Линейни и нелинейни модели.Математически, функциятаL(x) – е линейна, ако
Същото важи и за функциите на няколко променливи. Линейната функция е присъща на използването само на операциите на алгебрично събиране и умножение на променлива с постоянен коефициент. Ако има нелинейни операции в израза за оператора на модела, тогава моделът енелинеен, в противен случай моделът елинеен.
Модели със групирани и разпределени параметри.Трябва да се отбележи, че като се има предвид въведената терминология, би било по-правилно да се използва понятието „координата на състоянието“ вместо думата „параметри“ в името на модела. Това обаче е утвърдено име, което често се среща във всички работи по моделиране на процеси.
Ако основните променливи на процеса се променят както във времето, така и в пространството (или само в пространството), тогава моделите, описващи такива процеси, се наричат модели сразпределенипараметри. В този случай се въвежда геометричното пространствоz=(z1,z2,z3 ) и уравненията изглеждат така:
Тяхното математическо описание обикновено включва частични диференциални уравнения или обикновени диференциални уравнения в случай на стационарни процеси с една пространствена координата.
Ако е възможно да се пренебрегне пространствената нееднородност на стойностите на координатите на състоянията на обекта, т.е. градиент, тогава съответният модел е модел собединенипараметри. За тях масата и енергията сякаш са концентрирани в една точка.
Не винаги е необходимо триизмерно пространство. Например модел с нагреваема намоткаработна течност и с тънкостенна обвивка обикновено се изхожда от едномерността на обекта - взема се предвид само дължината на намотката. В същото време процесът на пренос на топлина към ограничен обем на работния флуид през дебела стена може да бъде описан с едномерен модел, който отчита само дебелината на корпуса и т.н. За конкретни обекти формата на съответните уравнения изисква обосновка.
Моделите са непрекъснати и дискретни във времето.Непрекъснатите модели отразяват непрекъснати процеси в системите. Модели, описващи състоянието на обектите по отношение на времето като непрекъснат аргумент -непрекъснат(във времето):
Дискретните моделисе използват за описание на процеси, за които се предполага, че са дискретни. Дискретният модел не може да предвиди поведението на даден обект в интервала между дискретните отброявания на времето. Ако въведем квантуване на времето със стъпка ∆t, тогава се разглежда дискретна скала, където i=0,1,2…- придобива значението на относително време. И дискретният модел:
При правилния избор на стъпката ∆t може да се очаква резултат от дискретен модел с предварително зададена точност. При промяна на ∆t трябва да се преизчислят и коефициентите на диференциалното уравнение.
Дискретно-непрекъснатите моделисе използват за случаи, когато искат да подчертаят наличието както на дискретни, така и на непрекъснати процеси.
Изисквания към математическите модели: точност - свойство, което отразява степента на съвпадение на стойностите на параметрите на обекта, прогнозирани с помощта на модела, с техните истински стойности; рентабилност на машинното време; универсалност - приложимост за анализ на група от еднотипни обекти.
Не намерихте това, което търсихте? Използвайте търсачката: