Парадокс на колелото на Аристотел - всички дължини са равни (Justman)
Циклоид (анимация) – http://portal.tpu.ru/SHARED/k/KONVAL/Animation4
ПАРАДОКС НА КОЛЕЛОТО НА АРИСТОТЕЛ ВСИЧКИ ДЪЛЖИНИ СА РАВНИ
Единствената истинска грешка е да не коригирате миналите си грешки. Конфуций (Афоризми, цитати, изказвания на велики хора) http://www.wisdoms.ru/112.html
Да приемем, че по-голямото колело се търкаля без приплъзване по правата AB. Във всеки момент, когато една или друга точка от ръба на голямото колело докосне правата AB, определена точно определена точка от ръба на по-малкото колело докосва правата CD.С други думи, всички точки от по-малката окръжност могат да бъдат приведени в съответствие едно към едно с точките от по-голямата окръжност. В този случай няма „свободни“ точки на нито един от кръговете. Това разсъждение изглежда доказва, че и двете ни окръжности имат еднаква дължина.
Изводът за равенството на окръжности с по-голям и по-малък радиус е направен от две предпоставки:
1. дължините на всички успоредни сегменти с краища, лежащи на прави линии, минаващи перпендикулярно на правата линия AB през центровете на окръжности № 1 и № 9, са равни една на друга (La1 b9 = Lc1 d9);
2. пътят, който точка от окръжност с произволен радиус на колелото преминава между два контакта с еднакъв успоредник AB, допирателна към тази окръжност през дадена точка, се приравнява на дължината на окръжност с този радиус;
Следователно, ако дължините на сегменти 1 - 9 на прави AB, CD и успоредни на тях (например La1 b9 или Lc1 d9), които отразяват разстоянието, изминато от точки на окръжности с различни радиуси на колелото (джанти и по-малки окръжности) между началната и крайната точка на движението на колелото, са равни една на друга, тогава окръжностите с различни радиуси също са равни една на друга, тъй като тези пътищаса еднакви с дължините на окръжностите на съответните радиуси.
Но в това разсъждение се прокрадва същата логическа грешка като тази на Зенон: подмяната на основата или по-скоро подмяната на „основата на заключенията“.
Въз основа на факта, че точките на кръгове с по-малък и по-голям радиус, разположени върху търкалящ се диск, преминават едно и също РАЗСТОЯНИЕ от точка a1 до точка b9, се заключава, че дължините на ПЪТИЩИТЕ на самите точки под формата на дъги (циклоиди) са равни. Но дори визуално може да се забележи, че едната дъга не е равна на другата, тоест едната е по-дълга, другата е по-къса и двете не са равни по дължина на разстоянието a1 b9. И колкото по-малък е радиусът на кръга на повърхността на диска, толкова по-голяма е дължината на неговата циклоида (дъга) до дължината на сегмента, който минава през центъра на диска, тоест центъра на всички възможни кръгове, разположени на диска. Само този сегмент е равен по дължина на сегмента a1 b9.
Грешките в разсъжденията са:
1) дължините на пътищата, изминати от центровете на кръгове с различни радиуси между началната и крайната точка на движението на колелото, се приравняват към дължината на разстоянието между тези точки (дължина a1 b9) и към съответните дължини на самите кръгове;
2) дължините на траекториите на движение на точки от кръгове с различни радиуси се приравняват към дължините на разстоянията, изминати от центровете на тези кръгове между крайните и началните точки на движението на диска (дължината на разстоянието a1 b9 или c1 d9, както и други).
Следователно се оказва, че тъй като дължините на пътищата (траекториите на движение на точките) са еднакви, което не е така, то дължините на окръжностите са еднакви, което също не е така, и следователно самите окръжности са еднакви, което изобщо не е така.
Дължината на разстоянието между началната и крайната точка, между които се търкаля дискът (a1 b9), дори не съвпада с дължините на пътищата (траекториите на движение), изминати от точки от кръгове с различни диаметри.А те от своя страна не съвпадат един с друг. Отричането на това е грешка. То е аналогично на това, което се съдържа в апориите на Зенон, когато се отрича разликата между част от пътя и целия път. Само центърът на всички кръгове, центърът на колелото, изминава път със същата дължина като разстоянието между точки a1 и b9.
Просто казано, можете да отидете до Москва от Нижни Новгород през Владимир или през Архангелск или Астрахан. Разстоянието от Нижни до Москва остава непроменено, но пътеките, които ще трябва да се изминат по трите посочени маршрута, далеч не са еднакви. Следователно радиусите на териториите на тези градове не са еднакви, което означава, че тези градове са различни. Шега :).
Следователно, преди да твърдите равенството или различието на каквито и да е неща или явления, трябва да се уверите, че критериите и подходът към подобно сравнение са еднакви.