петдесет и девет икосаедъра

Петдесет и деветте икосаедрае книга, написана и илюстрирана от Харолд Коксетър, Патрик дю Вал, Х. Т. Флейзър и Дж. Ф. Петри. Книгата изброява някои звездни форми на правилни изпъкнали (платонови) икосаедри, конструирани съгласно набор от правила, предложени от J. C. P. Miller [en] .

Съдържание

Правилата на Милър

Въпреки че J. C. P. Miller [en] не е написал директно книгата, той е бил близък колега на Coxeter и Petrie. Неговият принос е увековечен в неговия набор от правила за определяне кои звезди могат да се считат за „съществени и различни“:

Лицата трябва да лежат на двадесет равнини, тоест върху граничните равнини на правилен икосаедър.
Всички части, които съставляват лицата, трябва да бъдат еднакви във всяка равнина, дори ако са напълно разделени.
Частите, принадлежащи към която и да е (една) равнина, трябва да имат тригонална симетрия със или без отражение. Това осигурява икосаедрична симетрия за цялото тяло.
Всички части, принадлежащи към която и да е равнина, трябва да бъдат „достъпни“ в полученото тяло (т.е. те трябва да са „външни“. В някои случаи трябва да изградим огромни модели, за да видим всички части. За моделите с нормален размер някои части, макар и „външни“, могат да бъдат открити само от пълзящи насекоми).
Случаите са изключени от разглеждане, когато частите могат да бъдат разделени на две групи, които поотделно дават тяло с по-голяма симетрия от самата фигура. Но допускаме свързването на енантиоморфна двойка, която няма общи части (всъщност това се случва само в един случай).

Първите три правила отговарят на изискванията за симетрия залицеви равнини. Правило 4 изключва вътрешни кухини, като гарантира, че няма две звездни форми да изглеждат идентични. Правило 5 изключва всякакви несвързани компоненти на по-прости форми.

Коксетър беше основната движеща сила зад работата. Той извършва анализ въз основа на правилата на Милър, използвайки редица техники, като комбинаторика и абстрактна теория на графите, чието приложение в геометрията по това време е ново.

Той забеляза, че диаграмата на една звезда съдържа много сегменти. След това той разработи процедура за работа с комбинации от съседни плоски региони, за да изброи официално комбинациите, които попадат под правилата на Милър.

Представената тук графика показва свързаността на различните лица, представени в звездната диаграма (вижте по-долу). Гръцките букви определят набор от възможни опции:

λ може да бъде 3 или 4 μ може да бъде 7 или 8 ν може да бъде 11 или 12

Дю Вал измисли символична нотация за набори от конгруентни клетки въз основа на наблюдението, че те лежат върху "черупка" около оригиналния икосаедър. Въз основа на това той тества всички възможни комбинации срещу правилата на Милър, потвърждавайки резултатите от по-аналитичния подход на Коксетър.

Приносът на Флейзър не е пряк - той прави картонени модели на всичките 59 полиедра. Преди да се срещне с Коксетър, той вече е направил много звездни форми, включително някои полиедри, които не попадат в правилата на Милър. Той продължи да работи върху създаването на пълна серия, която се съхранява в математическата библиотека на университета в Кеймбридж (Англия). Библиотеката притежава и няколко немилерийски модела, но не е известно дали по-късно са направени от ученици на Флазер или Милър [1] .

Джон Флиндърс Петри - дългогодишен приятел на Коксетър, имаше забележителна способност да представя фигурив четириизмерното пространство. Той и Коксетър са работили заедно върху много математически проблеми. Неговият пряк принос към книгата се крие в множеството перфектни триизмерни рисунки, които придават очарованието на книгата.

За третото издание Кийт и Дейвид Кренел преработиха изцяло текста и преначертаха илюстрациите и вложките. Те също така добавиха референтна секция, съдържаща таблици, диаграми и снимки на някои от моделите на Кеймбридж (по това време се смяташе, че всички са от Flazer). Индексът включва всичките 59 полиедра, номерирани последователно в реда, в който са се появили в книгата. Няколко грешки се промъкнаха по време на процеса на редактиране. PDF файл с коригирани страници, достъпен онлайн.

Номерирането е от Krennels, освен ако не е отбелязано друго.

В номерирането, което Krennel добави в третото издание, първите 32 модела (номера 1-32) са огледално-симетрични, а последните 27 (номера 33-59) са хирални и само правилната форма е дадена в книгата. Номерацията съответства на реда, в който се появяват полиедрите в книгата.

Връзка към VRML 3D графични файлове, направени от Hart [en] .

Ако свържете която и да е точка в пространството с сегмент с центъра на икосаедъра и преброите броя на пресечните точки на сегмента с равнините на лицата на икосаедъра, ще получитенивото на точката(без да броим равнината, на която самата точка може да бъде). Всички точки с ниво, което не надвишава определена стойност, образуват някакъвмногостен. За правилен икосаедър има 8 възможни такива многостени, които се означават с главни буквиA,B,C, …,H, къдетоAе оригиналният икосаедър (ниво 0). Има точки с нива 8 и по-високи, но съответните лъчи отиват до безкрайност и т.нточки не се зачитат.
Точки от едно и също ниво образуватчерупка. В нотацията на Дю Вал черупките са номерирани със същите букви като полиедрите, но с главни букви. Черупките се състоят отклетки.
Някои клетки са разделени на два типа, дадени са им индекси. Например групатаeсъдържа клеткиe1иe2. Наборътf1допълнително се подразделя на дясна и лява форма, които се означават с f1 (обикновена буква) иf1(наклонена). Когато присъстват всички нива, те се изписват с главни букви, замествайки цялата последователност, напримерa+b+c+e1се записва катоCe1.

Всички звездни форми могат да бъдат дефинирани чрез звездна диаграма [en] . В горната диаграма цветните номерирани области показват частите, които трябва да се появят заедно като цяло, ако трябва да се постигне пълна икосаедрична симетрия. Диаграмата съдържа 13 такива комплекта. Някои от тях се подразделят на хирални двойки (не са показани), давайки звездни форми с ротационна симетрия, но не и огледална симетрия. В таблицата лицата, които се виждат отдолу, са обозначени с апостроф, например3'.

Брюкнер прави и фотографира модели на много полиедри, само няколко от които са икосаедри.

№ 8 се наричаЕхиднаедърпоради приликата му с покритата с игла ехидна. Това име не е свързано с описанието на Kepler-Poinsot на телата на Kepler катоechidnae.