Подполе, просто поле, подполе за реално полечисла, подполе на полето на комплексните числа
Подполе. Просто поле.НаборMот полеPсе нарича подполе отP, ако самото то е поле за същите операции на събиране и умножение, които са посочени в полетоP. ТогаваPсе нарича суперполе или разширение на полетоM.
Така полето на рационалните числа е подполе на полето на реалните числа, а последното е подполе на полето на комплексните числа.
Теорема 5.За да бъде множествотоMна полетоP, съдържащо поне два елемента, подполе, е необходимо и достатъчно сумата, разликата, произведението и частното (ако съществува в P) на всеки елемент отMотново да принадлежи наM.
Доказателството е доста подобно на това за съответната теорема за пръстена (теорема 4).
Всяко подполеMна полеPсъдържа 0 като разликаa-a, където , и единица като частно, където ,a≠ 0.
Теорема 6.Пресечната точка (в смисъл на пресечната точка на множества) на всяко множество от суперполета на полетоPотново е подполе на полетоP.
Съответната теорема е вярна и за пръстени, т.е. пресечната точка на всяко множество от подпръстени на пръстенаRе подпръстен на пръстенаR. Доказателството му е доста подобно на даденото тук за полета.
Доказателство.Нека Ms> има някакво множество от подполета, където индекситеsобразуват множествотоSи - пресечната точка на всички подполетаMsот това множество; 0 и 1 са включени във всяко подполеMsи следователно вD. Така чеDсъдържа поне два елемента. Акоaиbса елементи отD, тогава те са включени във всекиMsи, съгласно теорема 5,a+b,a-b,ab, и заb≠ 0 и също са включени вMs, и той nce вD. По силата на теорема 5Dе подполе на полетоP.
Поле, което няма други подполета освен себе си, се наричапросто.
Примери за прости полета са полето на рационалните числа и полетата на остатъците по модулp.
Всяко подполеMна полетоPот рационални числа съдържа числото 1 и следователно всички негови кратниn1 =n, т.е. всички цели числа и следователно всички техни части, т.е. всички рационални числа. И така,M=P, т.е.Pе просто поле. По същия начин всяко подполеMна полетоCpот остатъци по модулpсъдържа клас (1), служещ като единицаCp, и следователно всеки клас (r) катоr-кратно сгъване на клас (1). И така,M=Cp, т.е.Cpе просто поле.
Може да се докаже, че тези полета в известен смисъл изчерпват всички прости полета.
Теорема 7.Всяко поле съдържа просто подполе и само едно.
Доказателство.ПолетоPобикновено съдържа подполета (напр. самотоP). НекаDе пресечната точка на всички подполета на полетоP. Съгласно теорема 6Dе подполе наPи по дефиниция принадлежи на което и да е подполе. НекаMе подполе наD, различно отD.
От дефиницията на подполето следва, чеMще бъде подполе и заP, аDне е включено вM, което е невъзможно. И така,Dе просто подполе наP. АкоD'също е просто подполе на полетоP, тогава пресечната точка отново ще бъде подполе на полетоP, освен това и . Но от дефиницията на подполе следва, че в този случайD"ще бъде подполе както заD, така и заD', и тъй катоDиD'са прости подполета, тогаваD=D"=D', което доказва уникалността на просто подполе.