Полярни, цилиндрични и сферични координатни системи

Търсене в навигационен изглед

Полярни, цилиндрични и сферични координатни системи. преходни формули.

Полярни координати.

Полярната координатна система е двумерна координатна система, в която всяка точка от равнината се определя от две числа - полярния ъгъл и полярния радиус.

Полярната координатна система се задава от лъч, който се нарича нулева или полярна ос. Точката, от която излиза този лъч, се нарича начало или полюс. Всяка точка от равнината се определя от две полярни координати: радиална и ъглова. Радиалната координата (обикновено означавана ) съответства на разстоянието от точката до началото. Ъгловата координата, наричана още полярен ъгъл и обозначавана с , е равна на ъгъла, на който полярната ос трябва да се завърти обратно на часовниковата стрелка, за да стигне до тази точка.

$$x=\rho \cos\varphi,\; y=\rho\sin\varphi,\quad (\rho\geq 0,\,\,\,0\leq\varphi\leq 2\pi)$$

Обобщени полярни координати. $$ x=a\rho\cos\varphi,\; y=b\rho\sin\varphi,\quad (\rho\geq0, 0\leq\varphi\leq 2\pi)$$

Цилиндрични координати:

Цилиндричната координатна система е триизмерна координатна система, която е разширение на полярната координатна система чрез добавяне на трета координата (обикновено означавана с), която определя височината на точка над равнината.

$x=\rho\cos\varphi,\;y=\rho\sin\varphi,z=h,$ $ (\rho\ge 0,\, 0\le\varphi\le 2\pi,\, -\infty

Сферичнакоординати.

Позицията на точка M в сферичната координатна система се дава от тройка от числа r , φ и θ, където r е разстоянието от началото до точката M ( ); φ е ъгълът, образуван от проекцията на радиус вектора върху равнината O xy с положителната посока на оста O x ( ); θ е ъгълът между положителната посока на оста O z и радиус вектора на точката М ( ).

$$\left\ x=r\cos\varphi\cos\theta,\\ y=r\sin\varphi\cos\theta,\\ z=r\sin\theta,\end\right.$$

$ (r\geq 0,\;0\leq\varphi \leq 2\pi,\; -\frac\le\theta\le\frac).$

Обобщени сферични координати.