прагова функция

Праговата функция обикновено се записва по следния начин: [math]f = [a_1,a_2,a_3,\ldots,a_n;T][/math] .

Да разгледаме функция от три аргумента [math]f(A_1,A_2,A_3)=[3,4,6;5][/math] . Според този запис имаме

[math]a_1=3; a_2=4; a_3=6; T=5[/math] .

Всички набори от стойности на аргументите [math]A_1, A_2, A_3[/math] , на които функцията приема единична (или нулева) стойност, могат да бъдат получени от релация като [math]3A_1+4A_2+6A_3 \geqslant 5[/math] .

Ако [math]A_1=0,A_2=0,A_3=0[/math] , тогава [math]0\lt 5 \Rightarrow f=0[/math] . Ако [math]A_1=0,A_2=0,A_3=1[/math] , тогава [math]6 \geqslant 5 \Rightarrow f=1[/math] . Ако [math]A_1=0,A_2=1,A_3=0[/math] , тогава [math]4\lt 5 \Rightarrow f=0[/math] . Ако [math]A_1=0,A_2=1,A_3=1[/math] , тогава [math]10 \geqslant 5 \Rightarrow f=1[/math] . Ако [math]A_1=1,A_2=0,A_3=0[/math] , тогава [math]3\lt 5 \Rightarrow f=0[/math] . Ако [math]A_1=1,A_2=0,A_3=1[/math] , тогава [math]9 \geqslant 5 \Rightarrow f=1[/math] . Ако [math]A_1=1,A_2=1,A_3=0[/math] , тогава [math]7 \geqslant 5 \Rightarrow f=1[/math] . Ако [math]A_1=1,A_2=1,A_3=1[/math] , тогава [math]13 \geqslant 5 \Rightarrow f=1[/math] .

По този начин дадената функция приема стойността на идентичност на множествата [math]001[/math] , [math]011[/math] , [math]101[/math] , [math]110[/math] , [math]111[/math] . Минималната му форма е

[math]f=A_1 A_2 + A_3[/math] .

За да проверите това, достатъчно е да напишете

[math]ka_1 A_1+ka_2 A_2+\ldots+ka_n A_n \geqslant kT[/math] [math]ka_1 A_1+ka_2 A_2+\ldots+ka_n A_n \lt kT[/math] и разделете двете страни на неравенството на [math]k[/math] .

Примери за прагови функции са функциите [math] \operatorname [/math] и [math] \operatorname [/math] . Нека представим функцията [math] \operatorname [/math] като[math][1,1;2][/math] . Ще докажем, че това е точно праговата функция, като заместим всички възможни стойности на аргументите:

[math]A_1=0,A_2=0[/math] , след това [math]0\lt 2 \Rightarrow f=0[/math] . [math]A_1=0,A_2=1[/math] , след това [math]1\lt 2 \Rightarrow f=0[/math] . [math]A_1=1,A_2=0[/math] , след това [math]1\lt 2 \Rightarrow f=0[/math] . [math]A_1=1,A_2=1[/math] , след това [math]2 \geqslant 2 \Rightarrow f=1[/math] .

Таблицата със стойности е същата като таблицата на истината на функцията [math] \operatorname [/math], така че [math] \operatorname [/math] е прагова функция.

Функцията [math] \име на оператор [/math] е представена като [math][1,1;1][/math] . По подобен начин доказваме, че това е прагова функция:

[math]A_1=0,A_2=0[/math] , след това [math]0\lt 1 \Rightarrow f=0[/math] . [math]A_1=0,A_2=1[/math] , след това [math]1 \geqslant 1 \Rightarrow f=1[/math] . [math]A_1=1,A_2=0[/math] , след това [math]1 \geqslant 1 \Rightarrow f=1[/math] . [math]A_1=1,A_2=1[/math] , след това [math]2 \geqslant 1 \Rightarrow f=1[/math] .

Таблицата със стойности е същата като таблицата на истината на функцията [math] \operatorname [/math], така че [math] \operatorname [/math] е прагова функция.

---