Практика #8
Решение на обикновени диференциални уравнения.Задача на Коши.
2.Решение на проблема на Коши с помощта на Mathcad
3.Символно решение на линейни диференциални уравнения
4.Работна поръчка
6.Задания за самостоятелна работа
Проблемът на Коши може да се формулира по следния начин:
и първоначално състояние
. (1.1)
Изисква се да се намери функция, която да удовлетворява едновременно зададеното уравнение и началното условие.
Численото решение на проблема на Коши се състои в конструирането на таблица с приблизителни стойностиy0,y1, y2, . ynрешения на уравнението в точки
къдетоhе стъпката на нарастване на променливатаx,
n- брой интервали на решение със стъпкаh.
Нека разгледаме тук две групи числени методи за решаване на проблема на Коши:едноетапниимногоетапни.
1.1 Едноетапни методи
Методите с една стъпкаса методи, които изискват информация само за една предишна стъпка, за да се намери следващата точка на криватаy = f(x).
Методът на Ойлере най-простият метод в една стъпка. Може да се извлече от различни съображения.
Например, нека е скаларна непрекъснато диференцируема функция, т.е. във всяка точка има производна
.
След това за малки
,
и изразът може да се използва като приближение на разликата за първата производна.
Разгледайте проблема на Коши за едно скаларно уравнение (1), (1.1) на сегмент и във възлите на мрежата, заменете производната с нейното приближение на разликата.
В резултат на това получаваме система от уравнения за намиране на мрежовата функция:
,
,
Тази система от уравнения се наричадиференциална схема на Ойлер.
За намиране имаме изрична формула
(2)
По подобен начин може да се получи неявната схема на Ойлер
, (2.1)
ако от самото начало използваме израза като приближение на разликата за производната.
Локална грешкаmethodе стойността
Нека намерим стойността на локалната грешка на метода на Ойлер:
С други думи, грешката, която методът допуска в една стъпка, започвайки от точното решение.
Глобалната грешка(или просто грешка) на числен метод е мрежова функция със стойностиεi=u(xi)-yi
Като мярка за абсолютната грешка на метода приемаме стойността
Може да се покаже - за изрични едностъпкови методи от факта, че локалната грешка има формата
,
,
където и M са някои константи.
По този начин методът на Ойлер е метод от първи ред на точност (p=1спрямоh).
За да се намери решение на задачата на Коши с дадена точност, е необходимо да се намери такова приблизително решение, за което стойността на глобалната грешка.
Тъй като точното решение на проблема е неизвестно, грешката се оценява с помощта направилото на Runge.
Правилото за оценка на грешката на Runge.
За практическа оценка на грешката, изчисленията се извършват със стъпкиhиh/2.
За оценка на грешката на решението, получено със стъпкаh/2, вземете стойност, равна на
,
къдетоpе редът на метода.
Метод Runge-Kuttaчетвърти ред.
За постигане на по-висока точност (редh4 )използвайтеметода Runge-Kuttaчетвърти ред:
(3)