Претеглени остатъчни методи
След като изучихме един метод в относителни подробности, преминаваме към представяне на други методи от цели класове. Най-често срещаният клас са претеглени остатъчни методи. Те изхождат от предположението, че желаната функция може да бъде представена като функционална серия, например:
Функцията f0 обикновено се избира така, че да удовлетворява възможно най-точно (ако е възможно) началните и граничните условия. Предполага се, че апроксимиращите (пробни) функции fj са известни. Математиците излязоха с редица изисквания за такива функции, но ние няма да ги обсъждаме тук. Ние се ограничаваме до факта, че полиномите и тригонометричните функции отговарят на тези изисквания. Още няколко примера за набори от подобни функции ще бъдат разгледани при описанието на конкретни методи.
Коефициентите aj не са известни предварително и трябва да се определят от системата от уравнения, получена от първоначалното уравнение. Само определен краен брой членове се вземат от безкрайна серия.
В уравнението, което трябва да бъде решено, всички членове се пренаписват от лявата страна, само нула остава от дясната страна. Така уравнението се свежда до формата
Ако приблизително решение (написано като краен сбор от предварително избрани функции) се замести в това уравнение, тогава то няма да бъде идентично удовлетворено. Следователно човек може да пише
където R се нарича остатък. Като цяло, остатъкът е функция на x, y, z и t. Проблемът се свежда до намиране на коефициенти aj, така че несъответствието да остане малко в цялата изчислителна област. Концепцията за „малък“ в тези методи означава, че интегралите върху изчислителната област от несъответствието, умножено по някои тегловни функции, са равни на нула. Това е
След като посочихме краен брой тегловни функции, получаваме система от уравнения за намираненеизвестни коефициенти. Чрез специфициране на различни пробни апроксимиращи (пробни) и различни тегловни функции, ние лесно получаваме цял клас методи, наречени методи на претеглени остатъци.
Ето няколко примера за най-простите методи от този клас.
Метод на поддомейн. Изчислителният домейн е разделен на няколко поддомейна Dm, които могат да се припокриват. Тегловата функция е дадена във формата
По този начин се осигурява равенството на интеграла на несъответствието за всяка поддомейн. Методът послужи като основа за редица методи (един от тях ще бъде разгледан по-долу).
Метод на колокация. Делта функциите на Дирак се използват като тегловни функции
къдетоx= (x,y,z). Напомням ви, че функцията на Дирак е сложна функция[8], равна на нула навсякъде, освен в началото. Но в началото той приема стойност, неизвестна на науката, така че всеки интеграл върху региона, съдържащ началото, е равен на единица. С по-прости думи: задаваме определен брой точки (често наричани възли в този подход). Първоначалното уравнение ще бъде изпълнено в тези точки. Има подходи към избора на тези точки и пробни функции, които позволяват максимизиране на точността с ограничен брой възли. Но ние няма да ги обсъждаме тук.
Метод на най-малките квадрати. Методът се основава на минимизиране на стойността
Но е лесно да се покаже, че той също принадлежи към класа на претеглените остатъчни методи. Функциите за тегло за него са функции на формата
Може би това е най-известният метод сред неспециалистите от този клас, но далеч не е най-популярният сред специалистите.
Метод на Галеркин. При този метод апроксимиращите (пробни) функции се приемат като тегловни функции. Това е
Методът се използва широко в случаите, когато искат да намерят решение във форматанепрекъсната (а не мрежова) функция.
Нека разгледаме приложението на тези методи за изчисляване на деформацията на конзолна греда с дължина L. Нека отклонението от централната линия се описва с уравнението
Граничните условия са дадени във формуляра
Ще търсим решение във формата
Тогава несъответствието ще бъде записано във формуляра
За да намерим неизвестните коефициенти a и b, трябва да съставим система от две уравнения. Ще направим това с всички разгледани методи.
метод на колокация. Изберете две точки в краищата на гредата. Приравняваме техния остатък на нула
Както можете да видите, методът на колокация е доста прост за изпълнение, но отстъпва по точност на другите методи.
Метод на поддомейн. Разделяме цялата дължина на лъча на две поддомейни. Във всеки от тях приравняваме интеграла на несъответствието на нула.
Метод Галеркин. Взимаме интегралите на несъответствието, умножени по пробните функции.
Метод на най-малките квадрати.
Методът на най-малките квадрати изисква най-много изчислителни усилия, като същевременно не дава забележимо увеличение на точността. Поради това рядко се използва при решаване на практически проблеми.