ПРИБЛИЖЕНИЕ НА АНАЛИТИЧНИ ПЕРИОДИЧНИ ФУНКЦИИ ЧРЕЗ ЛИНЕЙНИ СРЕДНИ РЕДОВЕ НА ФУРИЕ, Ровенская,
Пълен текст:
Работата се занимава с въпросите на апроксимацията на периодични диференцируеми функции с висока гладкост чрез повторни средни аритметични суми на Фурие. Една от най-общите класификации на периодичните функции в момента е класификацията, предложена от A. I. Stepants, основана на концепцията за (ψ, β)-диференциация. Позволява да се класифицират сумируеми периодични функции по унифициран начин, като се започне от функции, чиито редове на Фурие могат да се разминават, и завърши с безкрайно диференцируеми функции, включително аналитични и цели числа. При подходящ избор на параметри класовете на (ψ, β)-диференцируемите функции съвпадат с добре познатите класове на Вейл, класовете на Соболев Wl p и класовете на навивки с фиксирани ядра.
През последните десетилетия сумите на Вале-Пусен и техните специални случаи (суми на Фурие и суми на Фейер) са интензивно изучавани от много изтъкнати специалисти по теория на функциите.
Понастоящем е натрупан голям фактически материал в множество публикации. Едно от най-важните направления в тази област е изследването на апроксимационните свойства на посочените суми за различни класове функции.
Целта на статията е да систематизира известни резултати, свързани с апроксимиращите свойства на методите на сумиране на Vallée Poussin върху класове интеграли на Поасон, както и да представи нови факти, получени за техните обобщения.
В редица случаи са установени асимптотични формули за най-малките горни граници на отклонения в унифицираната метрика на тригонометричните полиноми V (2) n,p (f; x), генерирани чрез многократно прилагане на метода на сумиране на Vallée Poussin върху класовете C ψ β,∞ и C ψ β Hω, които се дават чрез множители ψ(k) и смени варгумент β при условие, че последователностите ψ(k), които дефинират тези класове, намаляват до нула със скорост на геометрична прогресия (в този случай функциите от класовете C ψ β,∞ и C ψ β Hω могат да бъдат редовно разширени до съответната лента на комплексната равнина).
Статията разглежда обобщени суми на Вале Пусен и изучава техните апроксимиращи свойства върху класове аналитични периодични функции. Получени са асимптотични равенства за горните граници на отклоненията на итерираните суми на Вале-Пусен върху класовете интеграли на Поасон. В подходящи случаи тези равенства гарантират решението на проблема на Колмогоров-Николски за повтарящи се суми на Вале-Пусен и класове интеграли на Поасон. Посочени са условия, при които повтарящите се суми осигуряват по-добър ред на приближение от обикновените суми на Vallée Poussin.