Приложна алгебра
При създаването и експлоатацията на съвременни комуникационни системи, локални и глобални системи, проблемите на информационната сигурност играят все по-важна роля. Курсът изследва допълнителни раздели от алгебрата и теорията на числата и многобройните им приложения в криптографията и теорията на алгебричното кодиране.
Дисциплината „Приложна алгебра” отразява важно направление в развитието на съвременната математика, тясно свързано с дискретните изчисления.
Области на приложение на компютърните методи за защита на информацията. Елементи на теорията на числата и нейните приложения. Пръстен от цели числа, LCM, GCD, алгоритъм на Евклид. Взаимопрости числа, прости числа, факторизация. Сравнения от първа степен, функция на Ойлер, теорема на Ферма. RSA-криптосистема и базирана на нея система за цифров подпис. Прагова схема на базата на CRT. Разпределение на ключовете по Дифи-Хелман.
Крайни алгебрични системи и тяхната роля в цифровата обработка на сигнали и машинните изчисления.
Алгебрични системи и модели.
Отношения на квазиред, ред и еквивалентност. Линейно подредени множества. Решетки. Булеви алгебри. Редукционни пръстени. Редът на група от обратими елементи. Числата на Ферма и числата на Мерсенин. Символът на Лежандър и неговите свойства. Първопроизводен елемент по модул p=2 n +1, q=2p+1. Делителите на a p ±1. Антипроизводно по модул p a . Хиперкомплексни крайни системи. Изчисления по модул p.
Автоморфизми на Фробениус. Крайни полеви квадратчета. Формули за символа на Лежандро. Законът за реципрочността. Якоби символ. Крайни полета и дискретно преобразуване на Фурие.
факториални пръстени. Зона на основните идеали. Евклидови пръстени. Евклидов пръстен като област на главни идеали.
Първични пръстени. Местоположение на първичния пръстен. Разлагане на краен пръстен в пряка сума от първични.
Решеткаидеали. Теореми за хомоморфизма на пръстена. Нилпотенти и обратими елементи на пръстени. Максимални и основни идеали на пръстените. Факторни пръстени по максимални и прости идеали. Първични и максимални идеали в областта на главните идеали. Ньотерианство на областта на основните идеали. Свойства на отношението на делимост в областта на главните идеали. Неразложими и прости елементи в областта на главните идеали. Факториалност на областта на главните идеали.
Пръстен от полиноми върху пръстен.
Аналог на теоремата за деление с остатък. Следствие от теоремата на Безу. Броят на корените на полинома. Евклидови пръстени от полиноми над поле. Факториалност на полиномен пръстен върху факторен пръстен. Примитивни полиноми. Лема на Гаус. Полиноми на няколко променливи. Пръстен от полиноми като област на цялост. Изчисления по модула на идеала, генериран от даден полином и циклична конволюция.
Теория на групите и нейното приложение.
Основни понятия на теорията на групите. Нормални подгрупи и факторни групи. Хомоморфизми. Трансформационни групи. Основи на теорията на абелевите групи. Структура на алгоритмите DES, GOST, > Пръстени, полета и техните приложения към теорията на кодирането. Хомоморфизми и идеали на пръстени. Сравнения по модул идеал. Факторни пръстени. Полета и техните характеристики. Разширения на алгебрични полета. Структурата на крайните полета. Полиноми над крайни полета. Полиномиални кодове, линейни рекуренти, преместващи регистри за права и обратна връзка. Код на Хеминг, BCH кодове.
Поле за частна зона за интегритет.
Елементи на целочислено поле спрямо пръстена. Крайно генерирани модули. Целочислено затваряне на пръстена. Затваряне на алгебрично поле. Цялост на цялото затваряне на пръстена. Коефициенти на минимален полином на цяло число. Целочислено затваряне на пръстена от цели числа в квадратично поле. Хиперкомплексни системи и тяхната роляв цифровата обработка на сигнала.
Задачи за обработка на цифрови данни.
KIO филтри. Авторегресивни филтри. Линейни и циклични навивки. Преобразуване на Фурие. Теорема за цикличната конволюция.